选修4_2矩阵与变换1、2

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1、选修4—2　矩阵与变换第1课时　线性变换、二阶矩阵及其乘法考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换解决简单问题.1.求点A(3,6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．(－3,3)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．(m=2.k=-4)3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将

2、图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x,2x)，则有＝，∴，∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．(x＝)5.求直线x＋y＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．(点(0,5))1.变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为→

3、＝的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，d∈R)．2.几种常见的平面变换(1)当M＝时，则对应的变换是恒等变换．(2)由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．9(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6)由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．3.变换的复合与矩阵的乘法(1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足变换律．(2)矩阵的

4、乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．(3)矩阵的乘法不满足消去律.题型1　求变换前后的曲线方程例1　(2011·盐城三模)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解：设P(x0，y0)为曲线C上任意一点，它在矩阵M对应的变换下作用得到点Q(x，y)，由＝，得，解得.因为P(x0，y0)为曲线C上一点，所以x0y0＝1，所以·＝1，即x2－y2＝4，所以曲线C1的方程为x2－y2＝4.已知矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的方程．

5、解：MN＝＝，设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有＝，即.所以.9又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.所求曲线C的方程为y＝sinx.题型2　根据变换前后的曲线方程求矩阵例2　(2011·南通三模)已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a>0，b>0)对应的变换作用下变为椭圆＋＝1，求a，b的值．解：设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P′(x′，y′

6、)，则＝，即.又因为点P′(x′，y′)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1.由已知条件可知，x2＋y2＝1，所以a2＝9，b2＝4.因为a>0，b>0，所以a＝3，b＝2.(2011·南京一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．解：解法1：在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′，B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－

7、2a，－8)；由题意A′，B′在直线m：x－y－4＝0上，所以，解得a＝2，b＝3.题型3　平面变换的综合应用例3　(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解：由题设得MN＝＝，由＝，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是

8、k

9、，则

10、由题设知：

11、k

12、＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.91.设T是以Ox轴为轴的反射变换，求变换T的矩阵．解：∵(x′，y′)＝(x，－y)，而＝，∴T＝.2.求圆x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下，得到的曲线的方程．解：设圆x2＋y2＝1上任意一点P(x1，y1)在矩阵A作用下变为Q(x，y)，则＝，所以，即.代入x＋y＝1可得到椭圆方程＋＝1.3.在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．解：＝，，而x＋y＝k，(k为常数)，所以直线x＋y＝