怎样求三角函数的周期

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1、怎样求三角函数的周期    对于周期函数的定义，同学们应抓住下面两个要点：    ⑴f(x+T)=f(x)必须对定义域中任何一个x成立．T是不为0的常数；    ⑵周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．    由y=sinx,y=cosx的最小正周期为2π，可以得知函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=；由y=tanx,y=cotx的最小正周期为π，可以得知函数y=Atan(ωx+φ),y=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=．    例1  求下列函数的周期         ⑴y=cos(x)cos[(x-

2、1)]；         ⑵y=tan-cscx．    分析  先对解析式作适当的恒等变形，化为基本三角函数，然后求解．    解  ⑴∵y=cos(x)cos[(x-1)]             =cos(x)sin(x)=sinπx，    ∴T==2．    ⑵y=tan-cscx=-       =-cotx，    ∴T=π．    例2  求f(x)=

3、sinx+

4、的最小正周期．    错解  ∵y=

5、sinx

6、的周期是y=sinx周期的一半，即T=π．    ∴y=

7、sinx+

8、的周期是π．    错因分析  f(x+π)=

9、sin(x+π)+

10、  

11、                  =

12、-sinx+

13、                    ≠f(x)，    可见T≠π．    正解  作出函数y=sinx+的函数，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，就得到y=

14、sinx+

15、的图象，由图象可看出y=

16、sinx+

17、的周期是T=2π．    例3  (2003年全国)    已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)．    ⑴求函数f(x)的最小正周期和最大值；    ⑵在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间[-,]上的图象．    解  ⑴f(x)=2sinx+2sinxcosx        

18、      =1-cos2x+sin2x              =1+sin(2x-)    故f(x)的最小正周期为π，最大值为1+．    此时sin(2x-)=1，2x-=+2kπ．    x=+kπ(k∈Z)．    ⑵由⑴知x--y11-11+1    故y=f(x)在区间[-,]上的图象如下图．    例4  函数f(x)=

19、sinx

20、+sin

21、x

22、的值域是 A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,2]D.[0,1]    分析  可由正弦函数的性质，去掉绝对值符号，将f(x)化简后求解．    解  ∵f(-x)=

23、sin(-x)

24、+sin

25、-x

26、

27、               =

28、-sinx

29、+sin

30、x

31、               =

32、sinx

33、+sin

34、x

35、=f(x)，    可知f(x)是偶函数，故将定义域限制在[0,+∞)上，其值域不变．此时，    当x∈[0,+∞)时，f(x)=

36、sinx

37、+sinx．    ∵f(x+2π)=

38、sin(x+2π)

39、+sin(x+2π)             =

40、sinx

41、+sinx=f(x)，    可知f(x)是周期为2π的周期函数．故进一步限制定义域为[0,2π)，其值域仍不变，这时，    f(x)=    显然这时f(x)的值域为[0,2]，即原题答案

42、选C．    周期函数在某一个周期上的值域，等于它在整个定义域上的值域．上例中首先确定了f(x)在一个周期上的表达式，从而求得值域．