如何求三角函数的最小正周期

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1、如何用初等方法求三角函数的最小正周期在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。一公式法函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）的最小正周期都是；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。例1求下列函数的最小正周期：（1）f(x)＝2sin（πx＋1

2、）。（2）f(x)＝1-cos(4x）。（3）f(x)＝tan(x).f(x)＝解：用T表示各函数的最小正周期，则：（1）T==T==T==3πf(x）的最小正周期和y1=1－2cot(2x－)的最小正周期相同，为T=二定义法根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。例2求函数f(x)＝2sin（x－）的最小正周期。解：把x－看成是一个新的变量z,那么2sinz的最小正周期是2π。由于z＋2π＝x-=(x＋4π)-。所以当自变量x增加到x＋4π且必须增加到x＋4π时，函数值重复出现。∴函数y=2sin(x-)的最

3、小正周期是4π。例3求函数f(x)＝

4、sinx

5、－

6、cosx

7、的最小正周期。3解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。设0＜T＜π是这个函数的周期，则

8、sin(x＋T)

9、－

10、cos(x＋T)

11、=

12、sinx

13、－

14、cosx

15、　　　①对于任意x∈R都成立，特别的，当x=0时也应成立。∴

16、sinT

17、－

18、cosT

19、＝

20、sin0

21、－

22、cos0

23、＝－1。但当0＜T＜π时，0＜

24、sinT

25、≤1，0＜

26、cosT

27、＜1，故有－1＜

28、sinT

29、－

30、cosT

31、≤1，矛盾，所以满足①且小于π的正数T不存在。故

32、函数f(x)＝

33、sinx

34、－

35、cosx

36、的最小正周期是π。三、最小公倍数法求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。例4求下列函数的最小正周期：（1）f(x)＝sin3x+cos5x（2）f(x)＝cosx－sinx.（3）f(x)＝sinx＋tanx.解：（1）∵sin3x的最小正周期为T1=,cos5x的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是2π.∴f(x)的最小正周期为T=2π.（2)∵cosx的最小正周期为T1=，-sinx的最小正周期为T

37、2=4π。而和4π的最小公倍数是12π。∴f(x)＝cosx－sinx的最小正周期为T=12π.（3）∵sinx的最小正周期为T1=，tanx的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是70π。∴f(x)＝sinx＋tanx的最小正周期为T=70π.说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。四图象法作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。例5求下函数的最小正周期。（1）y=

38、sin(3x＋)

39、3（2）y=

40、+sin2x

41、解：（1）先作出函数y=

42、sin(3x＋)

43、

44、的图象（见图1）观察图象，易得所求的周期为T=。（2）先作出y=

45、+sin2x

46、的图象（见图2）观察图象，易得所求的周期为T=π。五、恒等变换法通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。例6求下列函数的最小正周期：(1)f(x)＝sin(x＋)cos(x－)(2)f(x)＝sin6x＋cos6x(3)f(x)＝解(1)f(x)＝sin(x＋)cos(x－)＝

47、sin2x+sin

48、=sin2x+∴最小正周期为T=π(2)f(x)＝sin6x+cos6x=(sin2x+co

49、s2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-sin2x=+cos4x∴最小正周期为T=(3)f(x)＝==它与－cos2x的周期相同，故得f(x)的最小正周期为T=π3