问题的“拆分-复合-变式”

《问题的“拆分-复合-变式”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、问题的“拆分－复合－变式”问题：某线路如图1所示，设J1、J2、…J6为6个电子元件，其正常工作的可靠性分别为r、r…、r，且彼此相互独立，问此线路正常工作的可靠性是多12、6少？这是一道集数学、物理及实际J1J2生活情景于一体的好题，散见于各种数学教学参考资料中，它考J3查的知识点牵涉到概率知识及物J5理学中的串并联计算，在平时教学过程中我们发现学生面对如此复杂的图形往往不知所措，难以J4J6入手，为此本文从思维的角度介绍解决这类问题的一般方法，与同仁们交流。图1一、问题的拆分根据上题的素材按照学生的不同认知水平和特点可设

2、计成有一定梯度的三个基本题。第一题是两个元件串、并联正常工作的可靠性；第二题是三个元件串、并联正常工作的可靠性；第三题是三个元件串、并联混合体正常工作的可靠性。问题1：如图2，设J1，J2是两个元件，它的正常J11J2工作的可靠性分别为r1,r2，问：1当J1，J2串联时，所得串联线路正常工作的可靠性是＿＿＿＿＿。J1（答案：r1r2）2当J1，J2并联时，所得并联线路正常工作的可靠性J2是＿＿＿＿＿。（答案：1-（1-r1）（1-r2））图2问题2：如图3，设三个元件J1，J2，J3正J1J2J3常工作的可靠性分别为r1,

3、r2,r3。1当J1，J2，J3串联时，所得串联线路正常工作的可J1靠性是＿＿＿＿＿。（答案：r1r2r3）J2J32当J1，J2，J3并联时，所得并联线路正常工作的可靠性是_____________。（答案：1-（1-r1）（1-r2）（1-r3））拓广：设J，J，…Jn是n个元件，它的正常工作的可靠性分别为rr121，2，…，图3rn。J1Jn…则：①当J1，J2，…，Jn串联时，所得串联线路正常工作的可靠性是＿＿＿＿＿。J1（答案：rr…rn）12…3当J1，J2，…Jn并联时，所得并联线路正常工作的可靠性是＿＿＿。（

4、答案：1-（1-r）（1-r（1-rn））Jn12）…图4问题3：如图5，设三个元件J1，J2，J3正常工作的J1可靠性分别为r1,r2,r3。J31当J1，J2并联后与J3串联，此时所得线路正常工作的可靠性是＿＿＿＿＿。J2J1J2（答案：[1(1r)(1r)]r）1232当J1，J2串联后与J3并联，此时所得线路正常工作的可靠性是_____________。J3（答案：1(1r1r2)(1r3)）图5注：2001年全国高考新课程卷：用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2。当元件A、B、C都正常工

5、作时，系统N1正常工作。当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的可靠性依次为0.80，0.90，0.90。分别求系统N1、N2正常工作的可靠性P1、P2。此题即为问题2、3的特例。二、问题的复合由于有上面三个基本问题作为铺垫，同学们对此类问题的求解有了一定的基础，他们碰到原问题后不会再感到茫然，而且可以很快地找到解决问题的金钥匙。解：设J1、J2构成的系统为Ⅰ；J3、J4、J5构成的系统为Ⅱ；系统Ⅰ、系统Ⅱ与J6复合成系统Ⅲ。则由问题1知：P(Ⅰ)=r1r2；由问题3知

6、：P(Ⅱ)=r3r5+r4r5—r3r4r5。再有问题2知：线路正常工作的可靠性P(Ⅲ)=1－（1－r1r2）（1－r3r5－r4r5＋r3r4r5）（1－r6）三、问题的变式在此基础上，我们还可对原问题进一步探索：变式1：现有三个相同的元件，每个元件的可靠性均为r，试问由这三个元件可以组成多少种不同的线路连接，并确定哪个系统可靠性最强？请归纳结论。（结论：让元件尽可能多采用并联方式有助于提高系统可靠性。）变式2：电路中五个方框处均为保险匣，框内数字为通电时保险丝被烧断的概率。求通电后不断路的概率？解：设以A、B、C、D、E

7、为各处保ABD险丝被烧断的事件。A、B、C构成系统Ⅰ；D、E构成系统Ⅱ。1/21/31/5在系统Ⅰ中：P()11P(A)P(B)P(C)12151123461/41/6在系统Ⅱ中：CEP()1P(D)P(E)图611291563052929整个电路不断路的概率为P()63036变式3：用2n个相同元件组成一个系统，有两种不同的联结方式。第一种是先串联后并联，如图（Ⅰ）第二种是先并联后串联，如图（Ⅱ）。如果各元件是否能正常工作是独立的，每个元件能正常工作的概率都

8、是r，问两个系统哪一个更可靠？n2nn解：如图（Ⅰ）P(Ⅰ)1(1r)r(2r)2nnn如图（Ⅱ）P(Ⅱ)[1(1r)]r(2r)nn下用数学归纳法证明2r(2r)证：当n=1时，结论成立；kk假设当n=k时，结论成立，即2r(2r)，k1kk1当n=k