浅谈问题变式.doc

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1、浅谈问题变式近几十年来，数学学习屮，问题受到了很好的注意。但很多研究更多地关注单个问题，数学问题与数学问题之间的关系，并未加以应有的关注。事实上，学生往往不是解一道题，而是解儿道题，学生可能从题题之间不变的关系中抽象出数学意义，进而把问题分类，使题目类型化。变式教学是数学教师十分熟悉的教学思想、教学理念。那么什么是问题变式？从个小故事谈起。一位小学教师出了一道题：23亍的彳是多少？当时大家都不会做。于是这位教师就说：“以后解题，凡看见xx^xx的多少，用除法。看见XX疑XX是多少，用乘法。所以这道题用乘

2、法。”于是我会做这类题了，却根本不懂什么意思。后来，这位数学教师继续上课,他用一串启发性的由浅入深的题组（下表），令我豁然开朗。这就是问题变式。23题冃：亍的孑倍是多少？2的1倍是多少？二的3倍是多少？32的2倍是多少？cI二的丄是多少？32丄的2倍是多少？c1二的丄是多少？342的丄倍是多少？9a3二的二倍是多少？34我们一般把将源问题加以变化的这些新问题，称为变式题。将源问题加以变化，称为问题变式。问题变式可以分为两类结构：水平变式和垂直变式。学生能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来

3、认知负荷的变化，为水平变式；学生不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，带来认知负荷的变化，为垂直变式。这样，可按问题结构的变化分成不同的层次（垂直变式），在同一结构层次中，可以分成问题表面形式特征不同的变化（水平变式）。一般来说，题目的认知负荷要在学生可理解的范围即最近发展区内。例如，源问题是：2x=6,求x的值；变式题是3x=18,求x的值。这就是水平变式。若学生能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化，为水平变式，否则是垂直变式。这种区分，以学生的感知为标准。例如

4、，源问题是2x=6,求x的值；变式题是2（x+4）=16,求x的值。这就是垂直变式。在学习者眼中，变式题包含的概念（数学结构）是源题冃的重复，是再认（重复性）题目，认知的功能是“巩固”，否则，垂直变式不能区分题冃包含的数学概念和关系（数学结构），即增加了新的认知元素，必须区分题目的认知负荷。在学习者眼中，是发展性题目，认知的功能扮演“发展”的角色。问题变式本身展示了结构与功能的统一。我们以一个例子加以说明。源问题：x2+5x+6变式题组一：变式子问题1:x2+6x+8变式子问题2：y2+5y+6变式子问

5、题3：x2+10x+16变式题组二：a,b取何值时可使下列各式因式分解变式子问题1：x2+ax+6变式子问题2：x2+5x+b变式子问题3：x2+ax+b根据一般初二学生的认知水平，变式题组一为水平变式题，变式题组二为垂直变式题。学生的认知过程可以作以下的描述。1•源问题提供了问题解决的正确图式。其屮包括与学习有关的关键成分：规则功能、适用条件，以及在具体情境中的操作过程。学生从源问题x2+5x+6获得十字相乘法的规则和图式认识。2•对于可以用十字相乘法的数学结构，引出一系列的水平变式“子问题”。经过表

6、面相似问题的解决，学习者就可能会形成一种心理定势，建立起十字相乘法的数学结构，突破源问题数字和字母的限制。3•接着，通过垂直变式题x2+ax+6,发展原来的数学结构，建立新数学结构。对于新问题x2+ax+6,学生开始反思x2+5x+6=(x+2)(x+3)中x2+5x+6系数5和6与2和3的关系，逐步摆脱例题表面内容(系数5和6)的制约，由表层结构特征过渡到数学结构特征，突破系数的限制，认识到等号左侧一次项系数与等号右侧一次项系数的一一对应关系即a=2+3o4•同理，通过垂直变式题x2+5x+b会努力地

7、对问题表而特征(系数5和6)的变化进行自我解释，逐步摆脱例题表面内容(系数5和6)的制约，突破系数的限制，认识到等号左侧常数项与等号右侧常数项的——对应关系即b=2X3［化为x2+5x+b=(x+2)(x+3)］。总之，在数学课堂教学设计中,遵循学生认知发展规律,根据教学内容和目标设计变式训练，起到巩固基础、培养思维、提高能力的作用。特别是，通过设计变式训练培养学生敢于思考、敢于联想、敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神，这应该是一名数学教师努力和不断的追求的远大冃标。