2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

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时间:2017-11-11

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1、2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.平面向量的坐标表示1.向量共线的基本定理如果,则;反之,如果,且,则一定存在唯一一个实数,使∥∥复习引入:一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.平面向量共线的坐标表示思考1:如果向量a,b共线(其中b≠0),那么a,b满足什么关系?向量a,b(b≠0)共线思考2:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a,b共线(其中b≠0),则这两个向量的坐标应满足什么关系?反之成立吗?a=λb.如果向量不平行坐标轴两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.思考3:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2

2、),若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点,如何用向量方法求点P的坐标?xyOP2P1PAB思考4:一般地,若点P1(x1,y1),P2(x2,y2),点P是直线P1P2上一点,且,那么点P的坐标有何计算公式?xyOP2P1P∥∥∥1.若a=(2cos,1),b=(sin,1),且a∥b,则tan等于()A.2B.C.-2D.A解析∵a∥b,∴2cos×1=sin.∴tan=2.基础练习2.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值为()A.-1B.C.D.1B解析∵u=(1,2)+k(0,1)=(1

3、,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又u∥v,∴1×3=2(2+k),得k=.二、填空题3.(2009·广东理,10)若平面向量a,b满足

4、a+b

5、=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.4.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若a∥b,则实数x的值等于.(-1,1)或(-3,1)解析由a∥b得3(2x+1)=4(2-x),解得x=.解析∵

6、a+b

7、=1,a+b平行于x轴,故a+b=(1,0)或(-1,0),∴a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).5.已知向量集

8、合M={a

9、a=(1,2)+(3,4),∈R},N={b

10、b=(-2,-2)+(4,5),∈R},则M∩N=.{(-2,-2)}解析由(1,2)+1(3,4)=(-2,-2)+2(4,5),∴M∩N={(-2,-2)}.三、解答题6.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以,为一组基底来表示.解∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),∴(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理,必存在唯一实数对m,n使得∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4).-1

11、2=m+2n,8=3m+4n,∴∴得m=32,n=-22.7.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,(1)求:3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5m=-1-3m+8n=-5,n=-1.∴解得

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