《用平面向量坐标表示向量共线条件》例题

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1、．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则①存在实数x，使a∥b；②存在实数x，使(a＋b)∥a；③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.其中，所有叙述正确的序号为________．例1【解析】由a∥b⇔x2＝－9无实数解，故①不对；又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对；因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0.即x2＝－9无实数解，故③不对；由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－

2、x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，∴m＝0，x∈R，故④正确．【答案】④【点评】对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．例2考点三向量共线问题及应用向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表现，也是几何问题代数化的具体表现．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是同向还是反向？例3【解】法一：a＝(1,1)，b＝(2，x)∴a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a

3、＝(6,4x－2)，又a＋b与4b－2a平行．故6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2，此时a＝(1,1)，b＝(2,2)＝2a.∴a与b的方向相同．法二：因为a＋b与4b－2a平行，则存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，由向量共线的判定定理可知，a与b共线，∴x－1×2＝0，即x＝2.此时a＝(1,1)，b＝(2,2)＝2a，∴a与b的方向相同．【点评】共线向量既刻画了几何位置(共线或平行)，又建立了向量坐标之间的数量关系(x1y2＝x2y1)，有关共线向量的坐标表示问题，建立方程或方程组求解是常用

4、的解题方法．