2.3.2双曲线的几何性质(1)

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1、徐州高级中学备课纸高中二年级数学学科执教人：晁瑾2010年月日课题2.3.2双曲线的几何性质（1）课时分配本课（章节）需课时本节课为第课时教学目标1．理解并掌握双曲线的几何性质；为本学期总第课时2．能根据双曲线的几何性质解决一些简单问题．重点体积公式的应用．难点体积公式的推导思路．教学方法讲练结合课型新授课教具多媒体教师活动学生活动一、复习回顾双曲线的标准方程：焦点在轴上，标准方程：．焦点坐标：．焦点在轴上，标准方程：．焦点坐标：．其中：．二、创设情境、引入新课前面我们在建立了椭圆的标准方程后利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质，在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的

2、几何性质．●双曲线有哪些几何性质？三、讲解新课1．双曲线的几何性质（1）范围6由方程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足，所以，即或．这说明双曲线位于不等式与所表示的平面区域内（如图）．根据双曲线方程，我们还会发现双曲线的范围还受到其它的限制．由双曲线方程可知，即，从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线和为边界的平面区域内（如图）．　　（2）对称性　　在双曲线的标准方程中，把换成，或把换成，或同时把分别换成时，方程都不变．所以双曲线关于轴、6轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．　　（3）顶

3、点　　在双曲线的标准方程中，令，得．这说明是双曲线与轴的两个交点，且是左支上最右边的点，是右支上最左边的点．我们把这两个点称为双曲线的顶点．　　令，得，这个方程没有实数根，说明双曲线与轴没有交点，但为了便于画图，我们把也画在轴上．　　线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．（4）渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内（如上图），那么，从的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系．如右图，设为双曲线在第一象限的点，作轴，垂足为．直线交直线于点

4、．当点向右移动时，观察长度的变化．我们发现，随着的增大，长度越来越接近于．事实上，对于相同的横坐标，直线上对应的点的纵坐标为，所以的长为．当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，趋向于，即的长趋向于．这说明，随着6的增大，双曲线在第一象限的点的直线的下方且逐渐接近于这条直线．同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线的上方且逐渐接近于这条直线．根据对称性，直线也有相同的性质．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．利用直线和所围成的矩形，先画出双曲线的两条渐近线，就可以画出双曲线的草图（如上图）．在双曲线方程中，如果，那么方程可化为．此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于，且两条渐近线互相垂直（两条渐近

5、线的方程分别为和）．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．（5）离心率椭圆的离心率反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，是否也与双曲线的形状有关？从上面的图可以看出，双曲线夹在两条渐近线之间，这说明的大小决定了双曲线的开口的大小．越大，双曲线的开口就越大，越小，双曲线的开口就越小．由可知，越大，双曲线的开口就越大；越小，双曲线的开口也就越小．即反映了双曲线开口的大小．焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记为．显然，双曲线的离心率．2．例题6例１　求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．解　由题意知，所以，解得．因此，双曲线的实轴长，虚轴长．焦点坐标，，顶点坐

6、标为．离心率．渐近线方程为．注：事实上，在双曲线的标准方程或中，把换成，即可得相应双曲线的渐近线方程．如在本例中，由，即可得所求的渐近线方程为．例２　已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求双曲线的方程．解　根据题意知，，解得，则．　　因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，所以所求双曲线方程为．四、练习P431,2,3,4五、小结本节课学习了以下内容：1．双曲线的几何性质；2．函数与方程、数形结合思想．作业P43习题1,2,6,76板书设计教学后记6