§8-5多元函数的极值和最值

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1、8.6多元函数的极值和最值学习一元函数的导数应用时，借助于导数解决了某些极值和最值问题.本节介绍如何利用偏导数解决有关多元函数的极值和最值问题.本节的内容和方法和一元函数相对应，是一元函数极值和最值的推广.8.6.1二元函数极值的概念1.二元函数极值定义定义.设是函数的定义域内一点，若存在的一个包含在内的邻域，对于该邻域内所有异于点的点，都有或,则称是函数的极大值(或极小值)，称为的极大值点(或极小值点)．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．例如：在点处取得极小值4.在的任意邻

2、域内，既能取正值，也能取负值，所以不是的极值点．如果函数在处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数在处取得极值.根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在处的值一定等于零，既.同理，如果函数在处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数在处取得极值。根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在处的值一定等于零，即.因为，，从而有如下定理.2.极值存在的必要条件定理8.6.1(极值必要条件)如果函数在点处两个偏导数都存在，且函数在P0处取得极值，则必有,．使同时成立的点，称为函数

3、的驻点.注意：驻点仅是取得极值的必要条件，即函数在驻点不一定取得极值．例如是函数的驻点，但并不是极值点．3.极值的充分条件定理8.6.2(极值存在的充分条件)设为函数的驻点，且函数在点的某邻域内有二阶连续偏导数．记,,,,则(1)当时，是函数的极值点；且若，为极小值点，若，为极大值点；(2)当时，不是函数的极值点；(3)当时，不能判定是否是函数的极值点．例8.6.1求函数的极值．解：解方程组，得驻点,所以在驻点处，有，则，又，由取得极值的充分条件，可知点为极小值点，极小值为.例8.6.2求函数极值．

4、解：解方程组，得驻点,对于驻点，有，则，可知驻点不是极值点.对于驻点，有，则，且顾由取得极值的充分条件，可知点为极小值点，极小值为.8.6.2多元函数的最值对于一元函数而言，在闭区间上连续的函数必有最值.对于二元函数也有类似的结论：在有界闭区域上连续的函数必定存在最大值和最小值.对于二元可微函数，如果该函数的最值在区域内部取得，这个最值点必在函数的驻点之中；如果函数最值在区域的边界上取得，则它一定也是函数在边界上的最值.因此，求函数的最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点求出来，将函数在驻点

5、处的函数值与函数在边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，其中最小者就是函数在闭区域上的最小值.例8.6.3求函数在闭区域上的最大值和最小值.解：函数在闭区域上是连续的，最大值和最小值一定存在.，令，，得驻点，且.考虑函数在区域边界上的情况.区域边界是一个圆，在边界上，函数成为的一元函数,.对此函数求导，有，令，得到函数在上的驻点为，此时相应的函数值为，又，所以函数在闭区域上的最大值为，它在点和处取得；最小值为，它在点处取得.在实际问题中，常常从问题的本身能断定它的最值

6、肯定存在且在问题考虑范围的内部达到，这是如果函数在定义区域内仅有唯一一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．例8.6.4欲做一个容量一定的长方体容器，问应选择怎样的尺寸，才能使此容器的材料最省？解:设箱子的长,宽,高分别为，容量为，则，箱子的表面积为要使使用的材料最少，则应求S的最小值．由于，所以，．令，求得唯一的驻点．根据问题的实际意义可知一定存在最小值，所以可以断定即为的最小值点，即当时，函数取得最小值．此时，所以长方体实际上是正方体．这表明在体积固定为长方体中，以正方体的表面积最

7、小，最小值．*8.6.3条件极值以上讨论的极值问题，自变量在定义域内可以任意取值，没有受到任何限制，通常称这样的极值问题为无条件极值问题.但是，在实际问题中，求极值或最值时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.条件极值问题的一般提法是：求目标函数在约束条件下的极值.求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法求极值的具体步骤如下：(1)构造辅助函数；(2)求函数的驻点，即联立解方程组：得到驻点；(3)判别求出的是否为极值点，通常根据实际

8、问题的实际意义去判定.例8.6.5试用条件极值的方法解决例8.6.4的问题．解:设箱子的长、宽、高为，要求容量为，表面积为．问题归结为在约束条件下，求的极小值．令，解方程组得．因为实际问题有极小值，而可能达到极值的点又唯一，所以极小值必定在此点达到，即当时表面积最小，最小值．习题8-61.函数在适合条件时的极大值.2.从斜边长为的一切直角三角形中，求周长最大的直角三角形.3.求下列函数的极值.(1)(2)；(3）求在条件下的极小值.4.求函数的极值.5.求函数在区域上