高中数列求和方法大汇总

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1、高中数列求和方法大汇总1利用公式法进行数列求和等差、等比数列的求和，直接运用前 n项和公式或运用等差、等比数列的性质，此部分是基础，也是重点．利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法．(1)等差数列求和公式：==(2)等比数列求和公式：=(3)==(4)==例1设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足:=,=7,求数列的通项公式及前项和．解设公差为，依题意有：=由性质得:=因为，所以=0，即，又由=7得：解得：，所以的通项公式为：故所求的前项和为：=评注本小题主要考查等差数列的通项、

2、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。例2等比数列的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求的公比；（2）若，求．解（1）依题意有由于，故又，从而（2）由已知可得:故:从而=评注在数列求和中，以下三个性质经常用到：（1）在等差数列中，若，则有：；（2）在等差数列中，若,,,则有：A、B、C成等差数列；（3）在等比数列中，若,,,则有：A、B、C成等比数列．2裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，使拆裂后的项相互之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从

3、而达到求和的目的．例3　求数列，，，，…，…的前n项和．解因为：==所求的和：．===例4求和：=++解因为=所以：===评注观察相消项的规律是求和的关键，要搞清楚哪些项是合并了，哪些项未合并，并且这类裂项分解往往要对数列的通项进行较大幅度的变形，有的是隔项相消，技巧要求较高．3错位相减法这种方法是把原数列的钱n项和乘以一个因数作为辅助数列，然后把它与原数列相减而得到一个关于的关系式，接着解这个关系式，进而求的的值．能用错位相减法求和的数列通常是项数相同的一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的相

4、减前在原求和等式的两边同乘以等比数列的公比，两式相减后能组成一个新的等比数列，以便用等比数列求和公式求和．例5　求和：=++．解因为：=++………………………（1）所以：=++……………………（2）由（1）—（2），得：=+=+再利用等比数列的求和公式得：=+=故：=评注（1）相减后各项的符号；（2）中间成等比数列部分的项数；（3）最后的表达式．例6　设，求数列、、、、…、、…的前n项和．解　若，===若，=………………………（1）此时，该数列可以看作是等差数列1、3、5、7、…、与等比数列、、、…

5、、的积构成的数列，且公比．等式两边同乘以，有：=………………………（2）由（1）—（2），得：=所以：==化简整理得：=．评注这个数列的每一项都含有，而等于1或不等于1对数列求和的方法有本质上的不同，所以解题是要讨论，切忌漏写．4数学归纳法．这种方法是求出的前n项之和，即先求出、、的值，再通过观察发现规律，从而归纳、猜想得出，并用数学归纳法加以证明．例7　已知数列的各项为：、、…、、…．其中是大于0的常数，记数列的前n项之和是，计算、、的值，由此推算出的公式，并用数学归纳法加以证明．解=======

6、=由此猜想：=用数学归纳法证明如下：当时，命题显然成立；设当时，命题成立，即：=当时，===这就证明了时，命题成立，从而命题对所有的自然数都成立．例8设数列的前n项之和为，且满足：=，求．解因为：=，由=得：=所以：=，而：=所以：=,得：=同理求得：=由此猜想：=用数学归纳法证明如下：当时，命题显然成立；设当时，命题成立，即：=当时，由题设有：=所以：=从而：==由此求得：=这就证明了时，命题成立，从而命题对所有的自然数都成立．评注（1）运用数学归纳法的思想是“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要

7、求；（2）运用数学归纳法的关键是“由当时成立，如何过渡与转换为当时也成立.”5倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒叙），再把它与原数列相加，从而得到n个．能用这个方法的数列的特点是：在一个数列中与首末两端“等距离”的两项之和（或“系数”之和），等于首末两项之和（等于首末两项“系数”之和）．例9　设数列是等差数列，求证：=．解设S=……………………………（1）将上式倒写，得：S=又因为：=，所以：S=………………………（2）由（1）+（2），得：2S=因为

8、：是等差数列所以：===…所以：2S==即：S=故：=．评注=．例10已知函数=，求：=．解　可证当=1时，=因为：=………………（1）将上式倒写，得：=…………（2）由（1）+（2），得：2S===所以：=例11设，利用本文中推导等差数列前n项和公式的方法，求：的值.解：∵，∴=，∴，设=…………………（1）将上式倒写，得：=………………（2）由（1）+（2），得：==∴==.点评使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”.本题中，倒序