高中数学数列求和方法

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1、七剑合壁破解数列求和数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法——“七剑”，希望对同学们有所启发： 第一剑——套用公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法： 1.等差数列求和公式：   2.等比数列求和公式： 3.      4、 [例1]已知，求的前n项和. 分析：从题目中可看出这是一个等比数列的求和，自然想到直接应用等比数列求和公式即可． 解：由    由等比数列求和公式得                           

2、       ＝＝＝ 第二剑——错位相减法 这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列． [例2]求和：… 分析：注意到式子有两个特点，单纯从系数上看，它呈等差数列，这个数列的通项是2n－1；单纯从字母上看，它呈等比数列，此数列的通项是，所以可类比推导等比数列的方法求它前n的和． 解：∵………………………　① 设…………②    ①－②得   又因为 再利用等比数列的求和公式得：                 ∴    第三剑——逆序相加法 这是类比推导等差数列的前n

3、项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例3]求证：（本题源自人教大纲版必修第二册下） 分析：这虽然看似一道组合的证明题，本质上还是数列求和，注意组合的一个公式，所以我们用逆序相加法进行尝试． 证明：设…………………………..①       把①式右边倒转过来得         又由可得       …………..…….     .②   ①+②得          ∴   第四剑——分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比

4、或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例4]求数列的前n项和： 分析：可以看出该数列可分成两部分，注意到一部分等差数列，一部分成等比数列．我们使用化整为零的办法先拆开，再组合． 解：设   当a＝1时，＝ 当时，＝ 第五剑——裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）常见的如下： （1）  （2） （3） [例5] 求数列的前n项和. 分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时的情形． 解：设 则            ＝          ＝

5、 第六剑——分段求和法． 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.，对等差数列的绝对值求和也可仿效． [例6] 数列中，求 分析：题目要我们求前2008项的和，从前3项可以看出它不是等差、也不是等比，那么怎么办呢？先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列． 解：设 由可得   ……  ∵       ＝  ＝ ＝ ＝5 [例7]等差数列中，，求其前n项的绝对值的和． 分析：对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决． 解

6、：由已知可得，则当时． 不妨设 当时，   当时， = =  ∴ 第七剑——活用通项法 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例8] 求之和. 分析：本题的数列也十分特殊，具有良好的美感．如果我们知道它的一个通项公式是，这样即可将之分成两部分，转化为上述的第四种方法来解决，可见对通项的识别尤为重要． 解：由于 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ 当然数列求和的方法还不止这些，但是只要同学们七剑在手，勤加修炼，做到七剑合璧，融汇贯通，定能破解这一求和问题了． 本文

7、发表于《数学周报》大纲高考版总214期