力学问题中的轻杆和轻绳

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1、力学问题中的轻杆和轻绳力学问题中常涉及到“轻杆”、“轻绳”模型，特别是在中学物理竞赛题中，则更是屡见不鲜．轻杆、轻绳是由各种实际情况中的杆和绳抽象出来的理想物理模型，作为这一模型，一般情况下，“轻”往往是（相对于其它物体来说）指其质量可以忽略，所受重力可以忽略，而杆和绳则往往是其形体在同一直线上且其长度是不发生变化的．由此导致这一模型在运动学和静力学中都有其特有的规律．本文拟对此规律及其应用、特别是在解中学物理竞赛题中的应用作一些简单的探讨．一、杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值相等这是杆、绳在运动中的一个重要特征，其原因是由于杆、绳的长度不变，即由所考察

2、的两点间的距离不变而得．如图1所示，以vA、vB分别表示杆（或绳）上A、B两点的速度，vAl、vBl分别表示vA和vB沿杆（或绳）方向的投影，则vAl表示A点相对于B点相互远离的速度，而vBl则表示B点相对于A点相互靠近的速度，显然，若此两者相等，则A、B间的距离不变，即表示此杆（或绳）的长度不变．1．如图2所示，长为l，不可伸长的棒A、B的两端A和B分别沿直角（顶点为C）的两边滑动，B端以速度v做匀速运动，以α表示∠CBA，求：（1）棒A端的运动速度；（2）棒的中点D运动的加速度．解（1）棒A端沿AC方向运动，其速度vA满足vAcos（90°－α）＝vcosα，所以

3、vA＝vcotα．（2）由于D点为棒AB的中点，故有＝（1/2）AB＝（1/2）l，可见D点的运动轨迹为一段圆弧（圆心为C，半径为（1/2）l），则D点的运动速度vD沿此圆弧的切线方向，如图3所示．以β表示vD与AB间的夹角，则有vcosα＝vDcosβ，由于β＋（π－2α）＝π/2，即β＝2α－π/2，则vD＝vcosα/sin2α＝v/2sinα，vD沿CB方向的分量为vDx＝vDcos（α－β）=vDsinα＝v/2．由于vDx为恒量（v/2），说明D点沿CB方向的运动为匀速运动，其加速度为零，则D点的加速度AD必沿AC方向．而AD沿DC方向的投影即为D点做圆

4、周运动的向心加速度，故有ADcos（（π/2）－α）＝vD2/（l/2），所以AD＝v2/2lsin3α．引申：杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值之差为其长度的变化率．当杆或绳的长度可以变化时（如一条橡皮筋被拉长或者是缩短时），则此杆或绳的两端的速度沿其自身方向的投影值将不相等，这两个投影值之差为其长度的变化率，结合图1可见，这一变化率应为（vBl-vAl）．2．两只小环O和O′分别套在静止不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子一端系在A′点上，并穿过环O′，另一端系在环O上，如图4所示．若环O′以恒定速度v'向下运动，求当∠AOO′＝α时，环O的

5、速度v＝?解以OO'间的绳为研究对象，其两端的速度分别为v和v′，这两个速度分别沿BA方向和A′B′方向，其沿OO′方向的投影值之差为vl＝vcosα－（－v'cosα）＝vcosα＋v'′cosα，由于v和v′沿OO'方向的投影都是导致O与O′两点互相靠近，故上述的（vcosα＋v′cosα）表示的是绳OO′长度缩短的变化率，另一方面，由于环O'向下运动的速度为v′，则单位时间内由环O'中抽走的OO′绳段的长度数值应与v′相等，即OO′间绳的长度的变化率应为v′，故有vcosα＋v′cosα＝v′，v＝（（1－cosα）/cosα）v′．二、当外力只作用于轻杆（或

6、轻绳）的两端时，则作用于一端的外力的合力必与作用于另一端的外力的合力大小相等、方向相反，且此两合外力的作用线为由此杆（或绳）所确定的直线3．如图5所示，一根均匀细杆AB，上端A处用绞链与天花板相连，下端由绞链与另一均匀细杆BC相连，两杆长度相等，且被限制在图示的竖直平面内运动，不计绞链处的摩擦，当在C端施加一个适当的外力（在纸面所表示的竖直平面内）时，可使两杆平衡在图示位置处，即两杆间夹角为90°，且C端处在A点的正下方，试说明：不管两杆的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？只需要说明道理而不要求计算．解．以mAB和mBC分别表示杆AB和BC的质量，则若当mAB>

7、>mBC时，BC杆的质量可以忽略不计，则作用于BC杆C端的外力F必沿由C指向B的方向（即CB方向）。（F不可能沿BC方向，因为若沿BC方向，则AB杆将绕A点顺时针方向转动而不能平衡）若当mBC>>mAB时，则AB杆的质量可以忽略不计，故AB杆作用于BC杆的力FA必沿BA方向（FA不能沿AB方向，否则BC杆将绕C点沿顺时针方向转动），而BC杆的重力GBC作用于BC之中点，GBC与FA的作用线交于AB的中点D，如图6所示，此时杆BC受三力作用（GBC、FA和作用于C端的外力F）而平衡，由杆BC的平衡条件知，此三力必交汇于一点，故知F应沿CD方向．以上讨论