12角动量算符 共同完备本征函数系 力学量完全集

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1、§3-4角动量算符一、角动量算符二、角动量算符的本征问题§3-4角动量算符一、角动量算符粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。1．轨道角动量算符的定义利用可以把角动量算符变成球坐标系中的形式例如，的表达式推导如下：如果粒子围绕轴旋转，只有改变，则2．对易关系二、角动量算符的本征问题1．的本征问题周期性条件所以称为轨道角动量磁量子数。归一化归一化的本征函数2．的本征问题分离变量其中，。由求解过程可知，为使在区间内有限，必须方程的解式中的为连带勒让德多项式。称为球谐函数，其归

2、一化常数为球谐函数满足的归一化条件为总结：算符的本征值和本征函数为其中，称为轨道角动量量子数，称为磁量子数。前几个球谐函数：3．讨论（1）本征函数是算符与的共同本征态。（2）量子数和的本征值为，所以角量子数l表示轨道角动量大小。由于l取值间断，所以取值量子化。对应的态分别为。的本征值为，所以磁量子数m表示轨道角动量在z轴上分量的大小。由于取值间断，所以取值量子化。（3）本征值的简并度因为l一定时，m可取2l+1个不同的值，所以本征值的简并度为2l+1。如l=2时，，对应的态分别为§3-5共同完备本征函数系力学量完全集一、共同完备本征函数系二、力

3、学量完全集§3-5共同完备本征函数系力学量完全集一、共同完备本征函数系并不是任意两个算符都可以有完备的共同本征函数系，当且仅当两个算符相互对易时，它们才可能存在完备的共同本征函数系，或者说，它们才可能同时取确定值。定理1：若算符与分别满足本征方程则必有证明：于是对于任意态所以定理2：若算符和对易，即，且算符满足本征方程的解是无简并的，则也必是算符的本征态。证明：所以，也是算符的对应本征值的本征态，它与只能相差一个常数因子，即实际上，当算符的本征值有简并时，可以证明上述结论也是正确的，但是，此时的共同本征函数系需要加以适当选择。二、力学量完全集算

4、符的本征值简并，仅由量子数无法唯一地确定其本征态。要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符。这样的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能唯一地确定体系的状态。将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集，或者完整力学数量组。在力学量完全集中，力学量的数目一般与体系的自由度数相同。例如：动量算符相互对易，有共同完备的本征函数系。在态，它们同时具有确定值、、，能唯一地确定自由度为3的自由粒子的运动状态，构成该体系的力学量完全集。氢原子中电子的相互对易，它们有共同完备的

5、本征函数系。在态中，它们同时取确定值，构成了描述氢原子中电子轨道运动的力学量完全集。