关于中学微积分教学的一些思考

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1、关于中学微积分教学的一些思考　　【中图分类号】G64.21【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）32-0-01　　1.中学微积分教学现状　　微积分作为数学界的传统“三高”――微积分、高等代数、高等几何之一，一直是数学教学中的难点.而中学课程改革过程中，将微积分引入到了高中数学教学中，由于问题本身抽象性强，再加上中学生知识结构和理解能力的不足，导致许多教师只能照本宣科的介绍一下定义和简单的求导公式，学生们也无法了解微积分的用途，仅能够根据公式练习一些简单的初等函数求导，微积分的基本思想和解决问题的数学方法对很多同学来说根本无从谈起.那么，如何让中学生认识微积分――至少了解微

2、积分的基本思想和方法，笔者有一些浅显的思路，拿出来与诸位教师和学者探讨.　　2.微积分的发展和教法探讨　　现代数学教学的一个非常突出的观点是“重新发现数学”.众所周知，微积分理论的产生是从积分→微分→极限理论，在解决具体问题的过程中首先产生了积分和微分的概念.牛顿和莱布尼茨的微积分被称为第一代微积分，最初的概念中一直没有解决无穷小到究竟是不是0的问题.在欧洲文艺复兴过程中，随着微积分应用导致越来越多的自然科学成果的出现，对神学的统治地位造成了很大的冲击.于是，教会代表们纷纷挖空心思去反对、抨击微积分，这也造成了历史上第二次数学危机的爆发.　　英国大主教贝克莱就曾经攻击微积分理论，他的责难相当

3、直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？牛顿在从平均速度的表达式中，让变成无穷小，得到物体的瞬时速度，推导中有逻辑性的毛病.平均速度表达式为　　.　　贝克莱说：如果“无穷小”是0，上式左端当和变成无穷小后分母为0，就没有意义了；如果“无穷小”不是0，上式右端的就不能任意去掉.在推导上式时，是假定了才能做除法，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法就如同从出发，两端同时除以0，得出一样荒谬.　　这就是著名的“贝克莱悖论”.这个质问直接导致了第二次数学危机的爆发，险些导致微积分理论体系的崩溃.数学家们在经过将近200年的不断努力，到柯西创立极限理论，才较好的解决了这个问题，

4、直至后来魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底的反驳了贝克莱的责难.　　柯西、拉格朗日和魏尔斯特拉斯的微积分被称为“第二代微积分”.他们的研究成果更加严密、科学性更强，大大完善了分析理论.但是，对于非数学专业的大学生甚至是数学知识相对匮乏、逻辑思维能力偏弱的中学生来说，无疑是一种天方夜谈，乃至很多大学生学完微积分之后，也并不明白极限的“”定义到底讲的是什么东西，更不论后面的导数、微分和积分概念了.　　那么，有没有一种方法，能改进微积分的概念，让教师更容易教，学生更容易学呢？多年来，老一辈的数学家、教育家们做了很多尝试，也取得了一定的阶段性成果.无论是张景中院士的《直来直去的微积分》还是林群院士的《

5、微积分快餐》、《“山寨”微积分》等等，都对微积分的基本概念提出了重大的改进，更加便于我们把微积分通俗易懂的传授给学生，甚至是数学功底较差的人群.　　而关于微积分的基本思想，我们认为是一个用小直线代替长曲线的过程.积分求解问题的基本思路是下面的变换：　　大曲线（面）→小直线（平面）→大曲线（面）.　　这个思想并不是牛顿、莱布尼茨，甚至也不是笛卡尔等外国数学家提出来的，中国早在1700多年前，刘徽就通过割圆术将这种思想应用到解决求解圆的周长问题中，并取得了重大的成功，得到圆的周长是半径的倍.即使是很多中学数学很差的人也知道这个公式.　　类似的，我们考虑圆的面积问题.很多人知道圆的周长公式但不知道

6、面积公式，或者不知道这个公式是怎么来的.这其实是微积分思想的一个很精彩的应用，把这个思想应用到教学当中，能够让学生更直观的理解微积分的思想方法，掌握利用微元法解决问题的能力.学生们可能不知道圆的面积公式，但对三角形的面积公式是非常熟悉的：S三角形底边长×高.下面我们利用这个公式和微积分的思想来考虑圆的面积.　　做圆的内接正边形，其面积相当于个等腰三角形的面积之和：　　.　　当趋近于无穷大时，内接正边形的周长趋近于圆的周长，每个小三角形的高趋近于圆的半径，从而有　　.　　这种思想正式微积分的基本思想.把一个大的曲边问题转化为很多小的直边问题，然后对单个小问题进行近似求解，再把所有小问题的结果进

7、行求和、取极限.而且这个例子更加贴近中学生的知识结构，更便于他们接受.教学的同时也向学生阐述了一些数学的基本思想方法：化复杂为简单、化未知为已知.　　用这种方法来介绍微积分，化整为零再求和，化曲线为直线的思路很清晰，中学生也能明白.或者用类似的技巧介绍长曲线如何利用微积分求高[3]，把积分的引入从二维的面积问题转化为一维的长度问题，浅显易懂.这些例子在教学中都取得了不错的效果.　　3.结束语　　对于中学的微积