线性代数(理)综合复习资料

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1、《线性代数（理）》综合复习资料第一章阶行列式一、选择填空题：1、排列的逆序数为______________。2、行列式中，元素的代数余子式为。3、设行列式，则。4、设行列式，则。5、个方程、个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件是。6、设均为3阶方阵，且，则。7、设均为3阶方阵，且，则。8、已知多项式，则的最高次数是。9、设为3阶矩阵且行列式，则下列说法正确的是（）（1）矩阵中必有一列元素等于0；（2）矩阵中必有两列元素对应成比例；（3）矩阵中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、下列说法错误的是（）（1）若阶线性方程组的系数矩阵

2、行列式，则该方程组存在唯一解；第25页共25页（2）若阶线性方程组的系数矩阵行列式，则该方程组只有零解；（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。二、计算下列行列式1、；2、3、；4、；5、；6、；第25页共25页7、；8、；9、；10、；第二章矩阵一、选择填空题1、设，则的秩。2、设，则的秩。3、设均为3阶方阵，且，则。第25页共25页4、设，，则。5、设，则。6、设和皆为阶方阵，则下面论断错误的是()（1）；（2）；（3），其中为的伴随矩阵；（4）如果，则或。7、设是阶矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则下列结论成立的是

3、（）。（1）；（2）；（3）；（4）与的关系不定。8、下面论断错误的是()。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。9、设阶实方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（）（1）；（2）；（3）；（4）。10、设，，，则下列等式正确的是（）（1）；（2）；（3）；（4）。二、计算证明题1、设矩阵和满足关系式，且已知，求矩阵。第25页共25页2、已知，其中，，求矩阵。3、设为3阶矩阵，为3阶单位矩阵，满足关系式，且已知，求矩阵。4、设为阶矩阵，满足，（1）证明可逆；（2）若，求矩

4、阵。5、设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。6、已知三阶矩阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。7、已知且，其中是三阶单位矩阵，求矩阵。8、设方阵满足，证明及都可逆，并求及。9、已知可逆（其中为单位矩阵），试证也可逆，且有。第三章向量组的线性相关性和秩一、选择填空题1、设向量组线性无关，则当_____时，向量组，，第25页共25页线性相关。2、已知向量组，，，，则该向量组的秩为。3、已知向量组，，的秩为2，则。4、关于最大无关组，下列说法正确的是（）（1）秩相同的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3）向量组与其最大无关组是等价的；（4）如果向量组所

5、含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵的秩为，则下列说法错误的是（）（1）矩阵存在一个阶子式不等于零；（2）矩阵的所有阶子式全等于零；（3）矩阵存在个列向量线性无关；（4）矩阵存在个行向量线性无关。6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）如果阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。7、维向量组线性无关的充要条件是（）（1）存在一组不全为零的数，使得；（2）中存在

6、一个向量，它不能用其余向量线性表示；（3）中任意两个向量都线性无关；（4）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。8、向量组线性无关的充分条件是（）（1）均不为零向量；第25页共25页（2）中任意两个向量的分量不成比例；（3）中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示；（4）中有一部分向量线性无关。9、已知向量组线性无关，则下列说法正确的是()（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性无关；（4）线性无关。10、下列说法错误的是（）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相似矩阵有相同的特

7、征多项式，从而有相同的特征值。二、计算证明题1、已知向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。2、已知向量组（）；（）；（），如果各向量组的秩分别为，证明：线性无关。3、已知向量组，，的秩为2，试求的值。4、已知向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。第25页共25页5、设向量组线性无关，证明：线性无关。6、设向量组线性无关，记，，，证明：也线性无关。7、已知向量组，，线性相