线性代数(理)综合复习资料

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1、线性代数(理)综合复习资料一、选择填空题(60分，每题2分)1．排列的逆序数为______________。2．行列式中，元素的代数余子式为。3．设，则=。4．设是三阶方阵，，则。5．设，则的秩。6．个方程、个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件是。7．个方程、个未知量的非齐次线性方程组，当其系数行列式满足时有唯一解。8．设是非齐次线性方程组的两个解，则是齐次线性方程组的解。9．设三阶方阵与对角阵相似，则的特征值为。10．设有向量，，则当时，与正交。11．若，则的特征值只能是。12．设向量组线性无关，则当＝_____时，向量组，，线

2、性相关。13．设为阶方阵，若，则称为正交矩阵。14．二次型对应的对称矩阵为=。15．已知矩阵可逆，则。16．线性方程组有解的充要条件是。17．已知矩阵，元素6的代数余子式为，=。18．方程的根为。19．个方程、个未知量的非齐次线性方程组有解的充要条件是。20．设行列式，则。21．设是正定矩阵,则下面论断错误的是()。（1）是对称矩阵；（2）非奇异；（3）（4）的元素皆为正实数。22．下面论断错误的是()。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积

3、。23．下列向量组中线性无关的向量组是（）。（1）（121）、（22-1）、（000）；（2）（1-12）、（110）、（-121）、（01-1）；（3）（1111）、（1010）、（1000）；（4）（100）、（112）、（224）。24．设矩阵的秩为，则下列说法错误的是（）（1）矩阵存在一个阶子式不等于零；（2）矩阵的所有阶子式全等于零；（3）矩阵存在个列向量线性无关；（4）矩阵存在个行向量线性无关。25．设和皆为阶方阵，则下面论断错误的是()（1）与等价的充要条件是；（2）可逆的充要条件是等价于；（3）与等价的充要条件是存在可逆

4、阵，使；（4）若与等价，则。26．对阶矩阵和非零常数，下列等式中正确的有（　　）（1）　　（2）　　（3）　　（4）。27．设和皆为阶方阵，则下面论断正确的是()（1）如果，则或；（2）；（3），其中为的伴随矩阵；（4）。28．对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）如果阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。29．下列说法错误的是（

5、）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。30．关于最大无关组，下列说法错误的是（）（1）向量组与其最大无关组是等价的；（2）等价的向量组有相同的秩；（3）一个向量组的最大无关组是唯一的；（4）如果向量组所含向量个数等于它的秩，则该向量组线性无关。二、计算下列行列式(40分,每题10分)1．。2．。3．。4．。三、(80分，每题10分)1．已知向量组，，线性相关，试求的值2．求向量组，，，的秩

6、和一个极大（最大）线性无关组，并将剩余的向量用该极大线性无关组线性表出。3．设向量组线性无关，证明：线性无关。4．设向量组线性无关，记，，，证明：也线性无关。5．设阶矩阵、及均可逆，试证：。6．已知，计算。7．已知且，其中是三阶单位矩阵，求矩阵。8．已知向量组，，，，问：（1），，，是线性相关还是线性无关？为什么？（2）求，，，的一个极大无关组。四、(60分，每题15分)1．设有线性方程组，问为何值时，方程组①有唯一解？②无解？③有无穷多解？。2．为何值时，非齐次线性方程组①有唯一解？②无解？③有无穷多解？。3．λ取何值时,齐次线性方程

7、组有非零解？并在有非零解时求出它的通解。4．为何值时，非齐次线性方程组有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。五、(60分，每题15分)1．设矩阵，求：（1）的全部特征值；（2）各特征值对应的特征向量。2．设矩阵，求。3．求一正交变换，将二次型化为标准形。4．求一正交变换使化二次型成标准形。