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时间:2018-07-24
《2018版高中数学人教b版选修2-2学案:2习题课 综合法和分析法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年人教B版高中数学学案习题课综合法和分析法明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解,应用两种方法证明数学问题.1.综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.综合法的证明步骤用符号表示是:P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)2.分析法分析法是指从需证的问题出发,分析出使这个问题成立的充分条件,使问题转化为判定那
2、些条件是否具备,其特点可以描述为“执果索因”,即从未知看需知,逐步靠拢已知.分析法的书写形式一般为“因为……,为了证明……,只需证明……,即……,因此,只需证明……,因为……成立,所以……,结论成立”.分析法的证明步骤用符号表示是:P0(已知)⇐…⇐Pn-2⇐Pn-1⇐Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在分析过程步步可逆.题型一 选择恰当的方法证明不等式例1 设a,b,c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.证明 I2=(a+b+c)2=a2+
3、b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.欲证3S≤I2<4S,即证ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.先证明ab+bc+ca≤a2+b2+c2,只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,显然成立;再证明a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,即a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0,只需证a
4、且c
5、2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).跟踪训练1 已知a,b是正数,且a+b=1,求证:+≥4.证明 方法一 ∵a,b是正数且a+b=1,∴a+b≥2,∴≤,∴+==≥4.方法二 ∵a,b是正数,∴a+b≥2>0,+≥2>0,∴(a+b)(+)≥4.又a+b=1,∴+≥4.方法三 +=+=1+++1≥2+2=4.当且仅当a=b时,取“=”号.题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,对应的三边为a,b,c,求证:+=.证明 要证原式,只需证+=3,
6、即证+=1,即只需证=1,而由题意知A+C=2B,52017-2018学年人教B版高中数学学案∴B=,∴b2=a2+c2-ac,∴===1,∴原等式成立,即+=.反思与感悟 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手易于寻找解题思路.在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.跟踪训练2 设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与
7、c的等差中项,试证:+=2.证明 由已知条件得b2=ac,①2x=a+b,2y=b+c.②要证+=2,只要证ay+cx=2xy,只要证2ay+2cx=4xy.由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc,4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc,所以2ay+2cx=4xy.命题得证.题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点
8、.(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,52017-2018学年人教B版高中数学学案∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA
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