2018版高中数学人教b版选修2-2学案：2.2.1 综合法与分析法

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案2．2.1　综合法与分析法明目标、知重点　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我

2、们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一　综合法思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明　因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．62017-2018学年人教B版

3、高中数学学案思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2acc

4、osB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．反思与感悟　综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1　在△ABC中，＝，证明：B＝C.证明　在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π

5、析法思考1　回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？答　要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，62017-2018学年人教B版高中数学学案因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2　证明过程有何特点？答　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．小结　一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3　综合法和分析法的区别是

6、什么？答　综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2　求证：－<－(a≥3)．证明　方法一　要证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－3＋2<2a－3＋2，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，所以－<－(a≥3)．方法二　∵＋>＋>0，∴<，∴－<－.反思与感悟　当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2　求证：＋<2.证明　因为＋和2都是正数，所

7、以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以＋<2成立．探究点三　综合法和分析法的综合应用思考　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答　对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．62017-2018学年人教B版高中数学学案例3　已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，　　　　　　　①sinθcosθ＝

8、sin2β.②求证：＝.证明　因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1.