贵州师范大学数学与应用数学专业（本科）毕业论文

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1、专业代码：学号：贵州师范大学（本科）毕业论文题目：凸函数在不等式证明中的应用学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：姓名：指导教师：（职称）完成时间：2012年3月12日凸函数在不等式证明中的应用摘要：凸函数是一种性质特殊的函数.凸函数也是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法简洁，在文中还进一步探讨了在不等式证明中的一些具体应用.关键词：凸函数不等式证明Abstract：Convexfunctionisafunctionofthespecialnat

2、ure.Convexfunctionisalsooneofthehighermathematicsthebasiccontents,itprovedmorecomplexintheplaysamajorroleininequality.Usetheconvexfunctiontostudyconvexinequalitythanthetraditionalmethodissimple,andfurtherdiscussedinthispaperinsomeofthespecificapplicationofinequation.Ke

3、ywords：convexfunctioninequalitiesproveing在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类性质特殊的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的.现行高等数学教材中,也都对函数的凸

4、性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.1.凸函数定义与等价描述1.1凸函数的几种定义以及它们的关系大家都熟悉函数的图象，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样的定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点

5、的直线之下，则称函数是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.下面给出几种常用的凸函数定义：定义1[1]设在区间上有定义，在上称为是凸函数，当且仅当：，，有.(Ⅰ)若(Ⅰ)式中，“”改为“﹤”，则是严格凸函数的定义.若“”改为“”或“﹥”，则分别是凹函数与严格凹函数的定义.由于凸与凹是对偶的概念.对一个有什么结论，对另一个亦有什么结论.因此，下文中只对凸函数进行论述.定义2[2]设在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当：，有.定义3[2]在区间上有定义，称为是凸函数，当且仅

6、当：，有.关于定义1，定义2，定义3有如下的关系：(1)定义1定义2,定义1定义3；(2)定义2定义3；(3)当在上连续时，定义1、定义2、定义3等价.证明：(2)定义2定义3.（由于定义3定义2明显，故只要证明定义2定义3.应用通常的数学归纳法有一定的困难，因此这里采用反向数学归纳法，其要点是：首先证明对于自然数的某个子序列成立(本证明针对于皆成立)，其次证明命题当成立时，必然对成立.）当时，显然成立.当时，一般来说，对任一自然数，重复上面的方法次可得这说明对一切的皆成立.记，则，所以由定义3中式子对成立，故在不等式两边同时乘以，

7、减去，最后除以得到即时仍成立.证毕.证明：(3)若在上连续，则定义1、2、3等价.首先定义1定义2、3.在定义1中令，则有故定义1蕴涵定义2，而定义2、3等价，因此定义1也蕴涵定义3.其次定义2、3定义1.设为任意两点，为了证明定义1对任意实数成立，则先证明当为有理数(为自然数)时成立，事实上：为有理数的情况获证.若为无理数，则有理数使得(当时)，从而由的连续性有对于有理数，上面已证明有此式中令取极限，联系上式，有即定义1对任意无理数也成立.这就证明了定义2、3蕴涵定义1.注：上述证明里看到从定义1定义2、3无需连续性，定义2、3定

8、义1才需要连续性.可见定义1强于定义2、3.1.2凸函数的等价描述定理1[3]如图1.2.1，设在区间上有定义，则以下条件等价（其中各不等式要求对任意，保持成立）：ⅰ)在上为凸函数；ⅱ）；ⅲ）；ⅳ）；ⅴ）曲线上三点，，所围的有向面积.