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1、车灯线光源的优化设计方案-薛武欢迎光临中国数学建模网1车灯线光源的优化设计方案薛武，杨铭和，倪冉指导老师：指导小组（北京化工大学，北京100029）[编者按]本文的主要特点是：在建立反射光强度的数学模型时，用反射点投影至测试屏目标点的变换的Jacobi行列式来刻画反射面元面积与该面元的反射光在测试屏照射到的微元面积之间的精确关系，并给出了相应的近似模型。遗憾的是在实际离散化计算时，作者们做了过度的简化，未能真正应用上述模型，计算结果偏小。[摘要]本问题是一个车灯线光源的优化设计问题。首先，我们建立了一个连续的数学模型来描述这个
2、优化问题，此模型研究了线光源上任意一点发出的光线经过抛物面反射后到达光屏的情况，对于给定的考察点(B或C)得到一个联系该点与光的发射点，反射点这3个点关系的方程组。由于光在传播过程中会有发散的现象，我们用Jacobi行列式做了一个变换来描述这种散射。根据C点的光强度必须大于一个确定的值(文中设为1)，B点的光强度必须大于该值的2倍的约束条件将这个问题抽象成一个非线性规划问题。由于解非线性规划问题是很复杂的过程，我们选择了将连续模型简化成一个离散模型。但是离散模型将光离散成一条一条光线时，一般不能考虑光在传播过程中的散射问题。根
3、据我们连续模型中用Jacobi行列式算出的结果知可以考虑光在传播过程中的散射问题，但是Jacobi行列式是很难求出来的，为了解决这个困难我们将光的散射用连续的方法做了一个简化。简化的方法是用向量投影的方法粗略作出了两个面积微元之间的关系，从而得到了光线打在光屏上的散射效果与光线的起始单位方向向量和该光线经抛物面反射时的反射点的坐标的关系。运用以上的离散模型的算法，得到最优的线光源长度为3.39mm。[关键词]线光源,非线性规划,散射,Jacobi行列式,向量投影.1.问题的重述(略)2.基本假设:1.不考虑光在空气中传播时的损
4、耗.2.点光源发光时,在各个方向上产生的光强度是一样的.3.参数说明:p旋转抛物面的焦参数?线光源光能线密度,可以表示单位长度光源产生的光强度量2R线光源的长度W线光源半轴长发光的总强度量I(B)B点接收到的光强度(光强度量的面密度)I(C)C点接收到的光强度(光强度量的面密度)d旋转抛物面的深度I(h)光在空间传播时在距离光源h处的光强度Q某点光源的发光强度量n每个发光点向空间发射的光线数?r每个离散点光源的长度Δm每束光线可以产生的光强度量E(P)抛物面上可以将光线反射到P点的所有点的集合1感谢您对网站建设的支持1欢迎光临
5、中国数学建模网2?光屏上每个小网格的面积测试屏的单位法向量(沿z轴负方向)4.问题的分析:本问题是一个面镜反射的几何光学问题.目的是要求在满足题目要求(I(B)?2,I(C)?1)时对线光源的长度(2R)和单位发光密度(?)进行优化,使得线光源的发光总强度量最小.对于其中的考察点,例如B,首先要考虑光源上哪些点可以经过抛物面哪些反射点反射到考察点B.然后根据他们之间的位置关系算出从线光源上某点射出的光线在到达考察点B时,考察点B所接收到的光的强度.再对该考察点上所接收到的所有光的强度进行积分,算出I(B),将I(B)?2,作为
6、问题的一个约束条件,同理算出关于C点的一个约束条件.问题就变成了一个带约束条件的优化问题.5.模型的构建5.1反射点和发光点以及受光点之间的关系考虑线光源上一点H(0,r,p/2)发射一条光线经过抛物面上一点G(x1,y1,z1)射到光屏上某点P(x0,y0,z0)的情况.如图.1,抛物面方程为x2?y2?2pzG点的单位内法向量为lG???x1,?y1,p?x?y?p21212将向量和单位化得eGP??x0?x1,y0?y1,z0?z1?x1?x02?y1?y02?z1?z02??x1,r?y1,p/2?z1?x?(r?y1
7、)?(p/2?z1)2122eGH?????和e?????的和与G点若光线可以从H出发经过抛物面上的G到达光屏上的P,则向量eGPGH????和e?????的和与G点的单位内法向量的向量积为0,即的单位内法向量同向,即向量eGPGH?eGP?eGH?lG?0?2感谢您对网站建设的支持2欢迎光临中国数学建模网3令??,可以将原方程组化简为?x1(y0??r)?x0y1?0??x1?z0??p?(1??)(z1?p)??px0?0?2??????p???yz??(1??)(z1?p)??p(y0??r)?0*?1?02????z1
8、?d?22?x1?y1?2pz1??由于方程组*中前三个方程只有两个是独立的,则在前两个方程中可以任意去掉一个,方程组就决定H、P和G三点之间的位置关系.5.2光线经光屏反射过程的数学描述在线光源上取一点H(0,r,p/2),过该点沿单位向量u1??sin?cos?,sin?
