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1、北京交通大学2006-2007学年第二学期高等代数(II)期末考试(B卷)专业信科班级学号姓名.请考生注意:本试卷共有六道大题,如有不对之处,请马上与监考教师调换试卷!题号一二三四五六总分得分阅卷人一、填空题(每题3分,共30分)1、设W1和W2是Rn´n的两个子空间,其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成,W2是由全体n阶实下三角矩阵构成,则(W1+W2)的维数等于.2.设e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),h1=(0,0,2),h2=(0,3,0),h3=(4,0,0)是线
2、性空间P3的两组基,则从基h1,h2,h3到基e1,e2,e3的过渡矩阵是3、线性空间中,矩阵在基,,,下的坐标为 ..4、设P3的线性变换T为:T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2),取P3的一组基:e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),则T在该基下的矩阵是 ..5、设欧氏空间R3[x]的内积为则一组基1,x,x2的度量矩阵为.6、已知三阶矩阵A满足,则 .7、单位矩阵E的最小多项式为 .8、欧氏空间中两个向量满足,则与的夹角是.9、3维欧氏空间R
3、3(取标准内积)中的向量(2,3,-1),(1,1,0),(0,1,-1)生成的子空间的正交补空间的维数是.10、设是数域上的3维线性空间的一组基,是上的一个线性函数。若,则=.二、(15分)设线性空间P3´3中的两组基如下:(I):E11=,E12=,E21=,E22=,(II):A1=,A2=,A3=,A4=.(1)求由基(I)到(II)的过渡矩阵;(2)求矩阵A=在基(II)下的坐标.三、定义P3的变换A为A(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1)(1)证明A是一个线性变换;(2)求
4、A在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)下的矩阵。四、(15分)已知求可逆矩阵T,使T-1AT成对角形.五、(15分)设是欧氏空间的一组基,已知的度量矩阵为,令(1)求的一组标准正交基;(2)求,并求的维数和一组标准正交基。六、证明题(三题任选做两题)(每小题5分,共10分)1.设是维欧氏空间,是其子空间且。证明中有非零向量与正交。2.设阶方阵满足,证明相似于对角阵.3.设A是数域P上一个n阶方阵,A=定义A的迹为Tr(A)=a11+a22+…+ann证明Tr是线性空间P
5、n´n上的线性函数.