高等代数2学期06-07a[1].答案doc

《高等代数2学期06-07a[1].答案doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、北京交通大学2006-2007学年第二学期高等代数（II）期末考试（A卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W1和W2是Rn´n的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实下三角矩阵构成,则W1+W2的维数等于．2.设e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),h1=(0,0,2),h2=(0,3,0),h3=(4,0,0)是线性空间P3的两组基,则从基h1,h2,h3到基e1,e2,e3的过渡矩阵是。3、线性空间中，矩阵在基，，，下的坐标为：.4、设P3的线性

2、变换T为：T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2)，取P3的一组基：e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)，则T在该基下的矩阵是．.5、设欧氏空间R3[x]的内积为则一组基1,x,x2的度量矩阵为．6、已知三阶矩阵A满足，则6．7、已知矩阵A的初等因子组为l2，(l－１)2，则其Jordon标准形矩阵为8、欧氏空间中两个向量满足，则与的夹角是．9、3维欧氏空间R3(取标准内积)中的向量(2,3,－1),(1,1,0),(0,1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是1．10、设是数

3、域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则=．二、(15分)给定线性空间P4中的两组向量如下:a1=(1,1,0,0),a2=(0,1,1,1);b1=(0,0,1,1),b2=(2,3,1,1).令W1=L(a1,a2)，W2=L(b1,b2).（1）求W1+W2的维数和一组基；（2）求W1ÇW2的维数和一组基。解（1）因为，所以的一个极大线性无关组是，从而是W1+W2的一组基，这样W1+W2维数是3。………7分（2）任取则从而是W1ÇW2一个基，W1ÇW2的维数为1。………15分三、（15分）设A是线

4、性空间P的一个线性变换,已知A(1,-1,1)=(2,-1,4)A(1,-2,-1)=(1,7,-1)A(1,1,-1)=(1,2,1)（1）求A在基(1,-1,1),(1,-2,-1),(1,1,-1)下的矩阵;（2）求A的值域的维数与一组基;（3）求A的核的维数与一组基.解1111四、（15分）设是数域上n阶方阵全体构成的线性空间，是中一个取定的方阵。设（1）证明是的一个子空间；（2）设，，求，并求的维数和一组基。证明（1）任取，则从而。这样W是V的子空间。…7分（2）当时，..11分易知是W的一组基，从而W的维

5、数是2。..15分五、（15分）设e1,e2,e3,e4是欧氏空间V的一组标准正交基,A是V的线性变换,使得Ae1=e1－e2－e3＋e4，Ae2=－e1＋e2＋e3－e4，Ae3=－e1＋e2＋e3－e4，Ae4=e1－e2－e3＋e4求V的一组标准正交基,使A在这组基下的矩阵是对角矩阵。解A在基e1,e2,e3,e4下的矩阵为相应于特征值0，解齐次线性方程组得基础解系（1，1，0，0），（1，0.1，0），（-1.0，0，1）。相应于特征值4，解齐次线性方程组六、证明题（三题任选做两题）（每小题5分，共10分）1

6、.设是数域上的线性空间，是其真子空间。证明2．设阶方阵满足，证明相似于对角阵.3.设是欧氏空间中的两个不同的单位向量。证明证明1.若或，则结论显然成立。………2分假设，则有。这样，因此……..5分2.因为，所以A的最小多项式整除，从而是互素的一次因式的乘积，从而A可以对角化。3.因为是不同的单位向量，所以。………..2分这样。………..4分从而…….5分