专题讲解——二次函数的图象

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1、中小数理化http://blog.sina.com.cn/jar1专题讲解——二次函数的图象知识点回顾：1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。 2.二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。②任意

2、抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称

3、点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质11中小数理化http://blog.sina.com.cn/jar1函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k为常数，a≠0） a＞0a＜0a＞0a＜0图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随

4、x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值 4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞

5、0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若11中小数理化http://blog.sina.com.cn/jar1若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。 典型例题例1.（1）抛物线是由抛物线怎样平移得到的？（2）若抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛

6、物线的解析式。分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变。（1）抛物线的顶点是（0，0），抛物线的顶点是（1，3），∴抛物线是由向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的。（2）抛物线的顶点是（0，0），把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是（－2，－4），∴平移后的抛物线解析式为。 例2.二次函数的图象如图所示，对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.分析：由图可知：∴A、C项错，又知∴，∴B项错11中小数理化http://blog.sina.com.cn/jar1由∴，故选D

7、 例3.已知抛物线如图所示，直线是其对称轴（1）确定a，b，c，的符号；（2）求证：（3）当x取何值时，，当x取何值时，。分析：（1）由抛物线的开口向下，得由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得由由抛物线与x轴有两个不同的交点∴（2）由抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为∴当（3）由图象可知，当时，由 例4.已知二次函数，其中m为常数，且满足，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。分析：∵∴，∴抛物线开口向下又，抛物线与y轴的交点在x轴上方∴抛物线与x轴有两个不同的交点 

8、11中小数理化http://blog.sina.com.cn/jar1例5.求抛物线的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？解：∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对称轴是直线x＝－1令∴抛物线与y轴交点（0，）令的解为∴抛物线与x轴交于点（－3，0），（1，0）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小。 例6.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一