2。1矩阵表示的变换

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1、高中数学湘教版选修4－2教案§2.1矩阵表示的变换教学目标:一、知识与技能：了解数学实验研究方法，理解切变换的几何意义；初步运用矩阵所表示的变换研究问题。二、方法与过程回顾上一章五种特殊的线性变换×历欣赏、画图、观察、动手操作、验证等过程，发现矩阵所表示变换的几何性质。三、情感、态度与价值观形成解决问题的策略和方法，体会一他人合作的重要性，获得解决问题的经验，体验探索　的乐趣。教学重点:矩阵所表示变换的几何性质探究教学难点：矩阵所表示变换的几何性质的理论证明教学过程一、复习引入：1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数，，，排成的正方形数表称为二阶矩阵。特别地

2、，称二阶矩阵为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵为二阶单位矩阵，记为。（2）向量：向量（）是一对有序数对，叫做它的两个分量，且称为列向量，（）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，为常数）的几何变换叫做线性变换。福建省霞浦第六中学　　　郑卿第4页　　高中数学湘教版选修4－2教案（2）旋转变换坐标公式为，变换对应的矩阵为（3）反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（4

3、）伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（5）投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为二、问题探究实验1　研究矩阵所表示变换的几何性质。这个矩阵表示的变换将点P（）变到（），变换前后的点的坐标之间的关系为＝　即　　（1）为了考察变换的作用效果，先用平行于坐标轴的直线，（取整数　0，，，…）将平面分成一个个边长为1的正方形。在这些正方形组成的网格中画一个圆，以及一个由曲线组成的图形。如图2－1　观察并比较变换前后　的图形，看有什么变化，是否有什么性质保持不变。福建省霞浦第六中学　　　郑卿第4页　　高中数学湘

4、教版选修4－2教案胡来的每个正方形变成什么图形？所画的曲线图形变成什么图形？由于所有的点坐标不变，平行或重合于轴的直线仍变为自身。由变换式（1）中可解出＝，因此，平行于轴的直线变成，仍是一条直线，仍然过点（，0），但低利率为1，倾斜角为。但这些直线并非沿顺时针方向旋转，而是由于直线上的点P（）向右（当时）或向左（当时）平行移动到（，）而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正方形都被变成平行四边形，圆被变成椭圆。而曲线图形也被相应地向右倾斜变形。例、求一条直线在变换下的方程解：将＝，代入直线方程，得到整理得：，图像仍是一条直线一般地，由矩阵表示的变换都是将

5、平行或重合于轴的直线沿着于轴平行的方向移动，带动垂直于轴的直线向右或向左倾斜，这样的变换称为沿方向的切变。由矩阵表示的变换则是沿方向的切变。切变变换具有以一性质：（1）直线仍变成直线（2）平行直线仍变成平行直线；（3）保持平面图形的面积不变实验2　对矩阵决定的线性变换A，在直角坐标系中画出　由平行于坐标轴的直线，（取整数　0，，，…）所组成的网格，并在网格中画出圆和适当的图形。网格和图形被变换A变成什么样的图形？画图观察，经过变换之后，图形的哪些性质仍然保持？观察发现：（1）直线仍变成直线（2）平行直线仍变成平行直线；福建省霞浦第六中学　　　郑卿第4页　　

6、高中数学湘教版选修4－2教案（3）同一方向上长度相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。三、课堂练习取矩阵决定线性我A，研究如下问题：（1）求任意一条直线在变换A作用下的像的方程。方程的图像是什么形状？（2）两条平行线，（）在变换A作用下的像是什么图形？是否还是两条平行直线？（3）画图或理论证明，研究变换A是否保持图形的形状或大小　解：（1）设变换A：P（）变到（），则＝　即　　有代入得所以其方程为，仍是一条直线。（2）由（1）得直线变换后的方程为所在在变换A作用下的像还是直线，且还是两条平行直线。（3）变换A保持图形的相似四、小结1、由矩阵表示的变换是

7、沿方向的切变；由矩阵表示的变换则是沿方向的切变。2、切变变换具有以一性质：（1）直线仍变成直线（2）平行直线仍变成平行直线；（3）保持平面图形的面积不变教学反思：福建省霞浦第六中学　　　郑卿第4页