微积分在初等数学中的应用

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1、微积分在初等数学中的应用微积分已进入了中学教材，为学生提供了新的解题工具，特别是在解决函数的单调性、极值、最值等方面，处理起来程序化，非常方便、简捷。另外，在处理初等数学的其他问题方面也提供了新的解题思路和方法，下面举例说明。一．证明不等式（要分4种小题型）1只含一个字母（不妨设为）的不等式：“，令，，求H（x）在区间I上的最小值（可在区间I的端点处），有H（x）0即可2含有多个字母的不等式：证法一：将一个字母看作变量，其它字母看作常数（参数），然后按上述“1只含一个字母的不等式”的证明方法证明。（2004全国

2、）证法二：找出两个字母，不妨设为，然后将不等式变形为形式，然后用的单调性证明。（2001年全国高考）即：（3）用导数的几何意义证明不等式例3：已知：函数的定义域为（0，1），求证证明：即由拉格朗日定理，对存在使成立说明：形如形的不等式都可用此法。（4）．用函数的凹凸性证明不等式：凹凸性定义:如在I连续，且任时，则称曲线是凹（或凸）的。判别法：如在区间I上，则曲线是凹（或凸）的定理：在区间I上为上凸函数，且则：当且仅当等号成立，若为下凸函数则不等好相反。例4：证明（均值不等式）……都为正实数则当且仅当等号成立证明

3、；设则在上凸又在为增函数。即所以原不等式成立二．作函数图像学微分学之前,用普通的描点法作图是十分必要的,不过它有缺陷:带有一定的盲目性;函数图像的整个轮廓不清楚;……。而运用微分学作出的函数图像,就能克服描点法作图的缺点.作图像的步骤：1o求定义域，讨论函数的性质，如周期性、奇偶性。2o求f’(x)=0和f’’(x)=0的解。3o将所求的点按大小次序排列，列表，讨论f’(x)和f’’(x)的符号，确定单调区间，凹凸性，极值点。4o计算f’(x)=0和f’’(x)=0的值和必要辅助点（与轴的交点，端点等）值。5o

4、描点作图x--1（--1,0）0y’－－－0＋＋y”－0＋＋＋0y上凸↘拐点下凸↘极小值－1下凸↗拐点（0，0）作出函数在（－∞，0）上的图像：－11－11xyO再由奇函数的性质可画出〔0，＋∞〕的图像。三、方程根的问题例6.方程x3－6x2+9x－10=0有几个实数根？A.3B.2C.1D.0解：令f(x)＝x3－6x2+9x－10f’(x)=3x2－12x+9，令f’(x)=0得x＝1或x＝3f(1)=－6,f(3)=－10，∴f(x)的极大值和极小值都小于0，故f(x)＝0有一个根。四．解析几何中的应用1

5、．曲线上的点到顶点的距离2、求圆锥曲线的切线同理可得椭圆、抛物线的切线方程。五．用导数证明恒等式