渐开线齿轮轮廓曲线方程

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1、渐开线齿轮轮廓线方程的建立摘要根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，以进行后续的刚度、强度分析。关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线引言渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分

2、不传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精度。范成法近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一系列的曲线族，该

3、曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓，如下图所示：图1齿条刀具轮廓曲线族常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。包络线简介在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）一般地，设一个曲线族的每条曲线可表示为，其中是曲线族的参数是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由得出，其中以下的方程求得：若曲线

4、族以隐函数形式表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去得到。轮廓曲线方程的建立图2刀具齿轮坯坐标系建立如图2所示的齿条刀具和齿轮坯的坐标系。曲线ABC为齿条刀具齿廓，其中AB段为直线，BC段位圆弧。m为齿轮模数，z为即将切出的齿轮齿数。d为齿条刀具节线与齿轮轮坯中心间的距离。设齿轮的变位系数为x，则d=m（z/2+x）。坐标系1与齿条刀具固连，坐标系2与齿轮坯固连。为了求取齿轮轮齿齿廓曲线方程，可将展成运动简化成如下运动：齿条刀具沿x1方向以速度v平动，齿轮坯绕自身原点以角速度w转动。v与w之间满足：若以齿轮坯坐标系为参考坐标系，则展成运动可看成齿条刀具绕着坐标系2的原点转动

5、，同时沿着切线方向平动。在运动过程中，AB线段曲线族的包络线就是齿轮轮齿的渐开线部分，BC段圆弧曲线族的包络线就是过渡线部分。初始状态时，AB段曲线在坐标系1中的参数方程为：BC段曲线在坐标系1中的参数方程为：渐开线曲线方程的建立时刻t时，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程为：令，则，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程可变为：消去得到（1）在方程（1）两边对求偏导得到：(2)联立式（1），式（2）可得：其中，，，，过渡曲线方程的建立同理可得，BC段圆弧在展成运动过程中形成的曲线族在坐标系2中的参数方程：其中，，，，消去，可得：（3）方程两边对求偏导，可得：（4）其中，，，，

6、联立上述两个方程求解可得到在消去的过程中引入了多余的根，所以上述四组解中有三组是不符合要求的，通过实际作图判断，可以得到合理的一组解，作为过渡曲线在坐标系2中的参数方程。经验证，过渡曲线参数方程应为渐开线和过渡曲线参数取值范围要得到齿轮轮齿的轮廓曲线，还需要知道其参数方程中参数的取值范围。渐开线的起始点为：渐开线与齿顶圆的交点(此时，)；渐开线与过渡曲线的切点(此时，)。过渡曲线的起始点为：渐开线与过渡曲线的切点(此时，)；过渡曲线与齿根圆的切点()。由于各切点方程和交点方程都是超越方程，其解析解不易求得，因此采用数值解法。首先，确定参数的大致范围。参数的物理意义是，齿轮坯旋转的角

7、度。外啮合齿轮的重合度小于2，因此，，必定落在区间内。当模数为1，齿数为41的齿轮轮齿渐开线和过渡曲线如图6所示。齿顶圆的半径为定值，渐开线与齿顶圆只有一个交点，直接采用二分法，搜索，使得时，渐开线曲线上的点到原点的距离与齿顶圆半径足够接近。其求解流程如图3。图3求解流程图图4求解流程图随着参数在区间内由小到大变化时，过渡曲线上的点到原点的距离先变小后变大，因此可以采取三分法，搜索过渡曲线与齿根圆相切的点。其计算流程如图4。过渡曲线与渐开线的切点求法流程如图5。图5求