齿轮渐开线方程图解.doc

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1、齿轮渐开线方程渐开线的形成原理：渐开线就像一个有破断点的圆形展开成一条直线的过程中，圆上的破断点运动的轨迹，如图所示，从破断点A展平到K点，运动轨迹AK就是渐开线的一段，继续展平可至B点或更远。随着ω不断增大，渐开线曲率会越来越小，渐开线会越来越平直，如图所示。渐开线方程的推理过程：如图所示，圆O为渐开线AB的基圆，半径为Rb,K为渐开线AB上的任一点；展平段KN为渐开线AB的发生线。根据渐开线形成的原理可知，NO⊥NK，NK=N⌒A,ONK构成一个直角三角形。以下过程将滚动角α（rad）作为已知变量进行推导：根据渐开线的形成原理可得N⌒A=NK，圆心角ω所对应

2、的弧长：N⌒A=Rb*ω*PI/180,R=Rb/COS(α)。先计算出OK与OX的夹角θ，根据渐开线函数公式θ=TAN(α)-α。因为TAN(α)是N⌒A与Rb之比，相当于弧度值，所以此时α应换算为弧度值。用PRO/E绘制方程曲线时，应将其转换为十进制角度。即：θ=TAN(α)*180/PI-α，在PRO/E极坐标表示的方程中，θ用THETA表示。A.设α为压力角参数，将α用个人习惯的字母符号代替，如FAI。设定一个参数值，如45°，即可写成：1.压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN

3、(FAI)*180/PI-FAIZ=0以上方程式是以压力角∠α作为变量参数。若想使渐开线的长度控制在齿轮外径DW以内，就必须使渐开线K点与齿轮外径DW的边缘共线约束，可用∠α来控制。因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于2*Rd=DB，渐开线K点与R的端点重合。所以∠α应等于DB/DW的反余弦函数，即：∠α=ACOS(DB/DW)，此角就可使渐开线K点落在齿顶圆边缘的位置。将其作为变量代入方程，即可写成：2.齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程A：以ACOS(DB/DW)作为已知变量进行推导，方程如下：FAI=T*ACOS(DB/DW)Rb=

4、DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0如果方程式是以滚角∠ω作为变量参数。若想使渐开线的长度控制在齿轮外径DW以内，就必须使渐开线K点与齿轮外径DW的边缘共线约束，可用∠ω来控制。因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于2*Rd=DB，渐开线K点与R的端点重合，所以∠α应等于DB/DW的反余弦函数，即：∠α=ACOS(DB/DW)，∠α的正切值再乘以180/PI就是渐开线K点在齿顶圆边缘的位置，即：∠ω=TAN(ACOS(2*Rb/DW))*180/PI。将其作为变量代入方程，即可写成：3.齿顶圆压力角为参

5、数控制的“极坐标”表示的渐开线方程B：FAI=T*TAN(ACOS(DB/DW))*180/PIRb=DB/2R=Rb/COS(ATAN(FAI*PI/180))THETA=FAI-ATAN(FAI*PI/180)Z=0B.设ω为滚角参数，设定一个参数值，如45°，将ω用个人习惯的字母符号代替，如FAI。根据“勾股定理”，极轴R的长度R=(Rb^2+NK^2)^0.5。因式中NK=Rb*FAI*PI/180，将其代入。即可写成：4.滚角为参数的“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=(Rb^2+(Rb*FAI*PI/180)^2)^0.5T

6、HETA=FAI-ATAN(FAI*PI/180)Z=0如果设发生线长度NK等于基圆半径RB的倍率作为已知变量进行推导，渐开线的长度就以发生线长度与齿轮基圆半径的倍率来控制，改变倍率即可改变渐开线长度。如设0.7作为倍率值，可写成：5.发生线长度NK等于RB的正切函数为参数的“极坐标”表示的渐开线方程：Rb=DB/2NK=T*Rb*TAN(35)R=(Rb^2+NK^2)^0.5THETA=NK/Rb*180/PI-ATAN(NK/Rb)Z=0总结：A.上述所有渐开线方程都是在“极坐标”方程表达式下建立的。曲线的生成，离不开渐开线函数，渐开线函数θ=tan(α)

7、-α，知道滚角或压力角其中之一，就能推算出另一个角度，从而推算出渐开线展角。式中的α为弧度。例压力角α=60°，则：tan(60)=1.7321，将其换算成弧度：60*pi/180=1.0472，于是渐开线函数：θ=1.7321-1.0472=0.6849（弧度）。在PRO/E方程表达式中，应将弧度转换为十进制角度。B.在PRO/E方程表达式中，如果参数α在方程中代表滚角，应将α转换成压力角，即：ATAN(α*PI/180)，再用α-ATAN(α*PI/180)，此角即是渐开线的展角。如果参数α在方程中代表压力角，应将α转换成弧度即：TAN(α)*180/PI，

8、再用TAN(α)*180