勾股定理及其逆定理

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1、勾股定理【课前热身】1、在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2　　　B．4　　　C．2　　　D．2、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8　　　B．5，6，7　　　C．4，5，6　　　D．3，4，53、下面四组数中是勾股数的有（）．（1）1.5，2.5，2　（2），，2（3）12，16，20　（4）0.5，1.2，1.3A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组【知识梳理】1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股

2、定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a

3、2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

4、正整数，叫做勾股数组。常见的勾股数组：①3，4，5；6，8，10；3k,4k,5k.②5,12,13;10,24,26;5k,12k,13k..③7,24,25;14,48,50;7k,24k,25k.④8,15,17;16,30,34;8k,15k,17k.⑤柏拉图：⑥毕达哥拉斯：⑦丟番图：6、勾股定理的推广：如果把勾股定理理解为：平面上矩形的两边的平方和等于对角线的平方。那么空间中相应的结论是：长方体的长、宽、高的平方和等于该长方体的对角线的平方。如图：在长方体中AB=a,BC=b,AA1=c,对角线AC1=d,易知△是直角三角形，所以

5、另一方面△也是直角三角形，所以7、与勾股定理有关的几个常用的结论：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°∠C=90°，则a：b：c=1：：2（2）在Rt△ABC中，∠A=∠B=45°，则a：b：c=1：1：（3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的积。设斜边上的高为h,则（4）在蚂蚁怎样走最近中，如果长方体中长、宽、高分别为a,b,c,且a＞b＞c，则自长方体外侧绕行对角的最短距离为-8-【例题精讲】1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。　【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。总结升华：等边

6、三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。　　【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。　　【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）　A、8，15，17　　　B、4，5，6　　　C、5，8，10　　　D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖

7、拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？-8-【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平

8、行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。　3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边B