随机过程基础知识

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1、随机过程基础知识随机过程的概念我们已经知道，在一个样本空间:，通过构建??域的方法，我们可以构建概率测度空间，并在此空间上定义随机（实数）变量。这其实是建立了从样本空间到实数的一个一元函数（映射）。在实际金融分析中，我们遇到的变量不仅具有随机性，还具有随时间而变化的性质，因此需要用到随机过程的概念。假设:是随机试验的样本空间，T是一个参数集一般指时间。如果对于每个tT，都有随机变量X,ΖtR与之对应，则称依赖于t的一族随机变量X⊥,Ζt??为一个随机过程，有时也简写为Xt或者X。t??随机变量X,Ζt

2、是映射到实数轴的二元函数，自变量包括时间和状态。??如果固定在某个具体时点上，它退化为一个普通随机变量。??如果给定每个时点上的状态，它退化为时间的确定性函数，又称为样本路径。每分钟扔一个硬币，定义样本空间为:H⊥,T??将时间定义为，并在t1,t9><>2,...:上定义概率测度，则Xt1,Xt<>2,....就是一个随机过程。如果将时点固定，其中的每一项都是一个随机变量；如果将每个时点的状态确定，例如假设每次都出现H，那么XH,t1,XH,t<>2,....就是该随机过程的一条样本路径。记S为某只

3、股票上市以来第t个交易日的收盘价，由于股价受各种随机因素的影响，因t此St⊥??也是一个随机过程。记c为上述股票的看涨期权在t时刻的价格，其到期时点为T，执行价格为K。对于ttT的时点，ctS机变量，其取值取决于S的随机过程。K和T被t,t,T,K也是一个随t称为c的随机过程的参数。t根据时间参数和状态是否连续可以对随机过程进行分类：（）:和T都是离散的。这是实际中最常出现的随机过程。（）:连续，T离散。（）:离散，T连续。（）:和T都连续。以它为基础的金融学研究称为连续时间金融。在这种情况下我们可以

4、用许多方便的数学工具来处理随机过程，所以理论上大多采用此类模型。dSdt∏dzSΗ??lntlnt1t随机过程的统计特征因为固定在某个时点上，随机过程退化为一个普通的随机变量，所以我们有以下定义：定义一个随机过程X⊥在任意时点的分布函数t??Fx,tXtxδ为随机过程的一阶分布函数。称一阶分布函数的偏导数Fωxω,tfx,tx为随机过程的一阶密度函数。t∏EX>t??:XtdRX≥tdFXt≥<>2??VarX:X<>2td∏RXtt<>2tttdF∏Xt≥以上概念都是时间t的函数。以上统计特征

5、只揭示了随机过程在某个固定时点上的信息。很多时候我们需要知道在不同时点上随机过程的分布是否具有某种联系。所以进一步引入以下概念。Fxt1,xt<>2,...,t1,t<>2,...Xt1x1,Xδt<>2x<>2,...δFωnxt,xt,...,t,t,...fxt,xt,...,t,t,...1<>21<>21<>21<>2xω1t...ω<>2如果能确定联合分布，我们就完全掌握了随机过程的各种信息。但很多时候我们是难以观察和把握联合分布的，所以我们退而研究随机过程的矩的性质。二阶混合原点矩res

6、,tEX>sXt??称为自相关函数。二阶混合中心矩CovstEXss∏Xtt??←∏res,tst∏∏≡…称为协方差函数。自相关函数和协方差函数是两个时间参数和的二元函数。当st时协方差就退化为方差了。EX>t

7、Xs,t??s!lnStlnSt1tΗ期望值恒定pptt0??i,（t）0iΗEpp1方差无界Varpt<>2t??cov（p,p）Epppp??ts<>2??自相关ttst0ts0←≡…sΥttst自相关系数很高，且强记忆性。正弦波过程：XtacosbtΤ和为常数，Τ服从在上的均

8、匀分布。试求X的一阶密度函数、一阶期望、自相关t函数和自协方差函数。平稳性是指随着时间的变化，随机过程的某些特征会保持不变的性质。它是随机过程中的重要概念。最常见的平稳性定义有强平稳过程和弱平稳过程。如果一个随机过程的分布不随着时间的推移而变化，我们称该随机过程是一个强平稳过程。即Fxt1,xt<>2,...xtn,t1,t<>2,...,tnFxt1t,x??t<>2t,...xtn??t,t1t,??t<>2??t,...,tnt????如果一个随机过程的一阶矩和二阶矩都存在（不为无穷大），而且不

9、随时间的推移而变化，称该随机过程是一个弱平稳过程。即：s∏t∏,s,t∏Tres,trest,t??trets??,s,tT由于Covs,tres,ts∏tr∏ets<>2∏所以弱平稳过程的自协方差也不随时间变化而变化。二阶矩只与时间的间隔有关，而与时点的绝对位置无关。由于弱平稳过程中对一阶矩和二阶矩的大小有要求，而严平稳过程没有，所以这两种平稳过程没有相互包含的关系。但是满足一阶矩二阶矩有限这一性质的严平稳过程都是弱平稳过程。几种常见的随机过程白噪音（