第二讲函数的连续性

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1、第二讲函数的连续性复习与考试要求1．理解函数连续性的概念及左连续与右连续的概念.2．会判断函数间断点的类型.3．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.基本题型与解题方法一、函数连续的定义及其应用1.函数在一点处的连续性证明与判别法设函数在的某邻域内有定义，函数在点处连续，有以下三种等价形式的定义.（1）；（2）；（3）“”定义：当时，恒有.在通常情况下，若已知条件中给出了函数的解析表达式，则用形式（1），（2）讨论问题较方便；若没有给出函数的解析表达式，特别是在理论推导时，则多采用（3）的形式.例2.1.

2、1设在内满足，且在处连续，证明在内处处连续.证明：先求.在中，令，得到，所以.再证在上连续.，，而在处连续.故.此即在处连续，从而在内处处连续.例2.1.2研究函数在处的连续性.解：思路：尽管在的两侧有相同的表达式，但因为,，所以仍然要考虑在的左、右极限.因为，，即，故在处不连续.例2.1.3设，（为常数），问为何值时，函数在处连续？解：设在处连续，则，即.又因为（），故.2．函数的间断点及其判别法如果函数在处出现下列三种情形之一：（1）在处无定义，（2）在处虽有定义，但是不存在，（3）在有定义，且存在，但是，则称函数在处间断，称为函数的间断点.判断是否是函数的间断点，一般地可以按上述的三

3、种情形逐条进行检查.函数的间断点分为两大类.设为第一类间断点，那么，和都存在.当时为可去间断点；当时为跳跃间断点.若是第二类间断点，则和中至少有一个不存在，特别地，若其中有一个为无穷，则称为的无穷间断点.例2.1.4求的连续区间，若有间断点，指出其类型.解：当时，；当时，，它们均为初等函数，故在其定义区间内连续.在分段点处，，（无穷小乘有界量仍为无穷小），即.于是不存在，从而是的第一类间断点，且为跳跃间断点.故的连续区间为.例2.1.5设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数（）.A.在处的极限不存在，B.有跳跃间断点，C.在处右极限不存在，D.有可去间断点.解：因是奇函数，故.又因存在，故

4、，又因是的间断点，且，从而是的可去间断点，故选(D).例2.1.6求函数的间断点，并指出其类型，对于可去间断点，如何使函数在该点成为连续的？解：显然，，即，都是函数的间断点.又∵，∴是函数的第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义，令时，，则函数在处连续.又∵.故是所给函数的第二类间断点，且为无穷间断点.二、利用函数的连续性求极限及函数中的参数我们可以用函数的连续性和变量替换求极限.对分段函数中的参数，可以根据分段函数在其分段点处的连续性来确定所含参数的值.例2.2.1求下列极限（1），（2），（3），（4）.解：（1）.（2）原式＝.注本小题结果可作为公式，即当时，.（3）.（4）.例2

5、.2.2设，在处连续，求.解：由函数连续性的定义，可知.而，，因此，故时，在处连续.三、闭区间上连续函数的性质用闭区间上连续函数的性质，可以讨论方程的根和函数的“中间值”等问题.用连续函数的介值定理研究方程根的存在性，而根的个数要用到函数的单调性.例2.3.1设在上连续，且，证明在内必存在一个点，使得.解：思路：证明方程根的存在性，一般是移项使方程一边为零.则另一边为辅助函数.这时方程的根即的零点.验证满足零点定理条件即可得到方程的根的存在性.令.由题设知在上连续，且有，，由零点定理知，至少存在一点，使，即.例2.3.2设在上连续，且，证明在内至少存在一点，使得，其中为任意的正数.证明：思

6、路：证明此类题目一般可以用直接方法证明.先应用最值定理而后用介值定理证明存在，也可以使用间接的证明方法，即先构造辅助函数，然后应用零点定理证明存在.证法一：由在上连续，，可知在上连续.由最值定理，在上有最大值，最小值.而.又，故，即.再由介值定理的推论可知，至少存在一点，使得，即.证法二：令，由题设知在上连续.要证在内有零点.因，，故当时，均可取作；当时，由，可知，再由零点定理，至少存在一点，使得.即.注意：对，称为和的加权平均值.它们的权分别为和，这是两个和等于1的正数，而和的加权平均值必在此二数之间，因此只要连续，必在上取到此平均值.例2.3.3试证方程，其中，至少有一个正根，且它不超

7、过.证明：令.显然在上连续，且.当时，，由零点定理至少存在一点，使得，即为原方程的根.当时，，则即为方程满足条件的正根.由上面的讨论可知，方程至少有一个不超过的正根.习题二1．求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）.2．求下列函数的间断点，并判别类型.对可去间断点，如何可使函数在该点连续？（1）；（2）；（3）；（4）求极限.3．当解为何值时，函数，在处连续？4．设函数在闭区间上连续，且，证明在上至少有一点，使得.5．