第11届景润杯 第二讲 函数和函数的连续性答案

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1、第二讲函数的连续性一、函数的极限与连续性例1已知当时，，对于其它满足，试求常数，使在连续。解：当时，则，于是，所以，因，，所以由，即得.例3、设在上连续，且有反函数存在，证明在上严格单调.证：假设在上非严格单调，则存在，使得或。（1）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这与有反函数矛盾。（2）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这又与有反函数矛盾。例4、设定义在上且只有第一类间断点，证明在上有界.证明：反证法.假设在上无界，即对任意的M，存在，使10.由M的任意性，

2、取M=n，相应地存在，使得，此时即有.又因为，存在收敛的子列且，若是连续点，则，矛盾，若是的第一类间断点，则其值都是一个有限数,存在子列使或,但，因而，或此也构成矛盾！故在上有界.例5、设为上的增函数，其值域为，证明在上连续.证明：反证法.假设在处间断，由于在上单调增，故只能是第一类间断点，则及中至少有一个大于零，不妨设，由的单调性知，无法取到和之间的数值，这与题设的值域为矛盾，从而在上连续.例6、设在上连续且无上界，对在上无最小值，证明在在上严格递增。证明：由在上连续且无上界，知只能在的左邻域内无上界，（否则与连续矛盾）.假设在上不是严格递增，即,且,但有，

3、由于只能在的左邻域内无上界，故存在，使得，此时有，由于在上连续，故有最小值存在，其中，即在上取到了最小值，与题设条件矛盾，所以在上严格递增。例7、证明非常值的连续周期函数必有最小正周期.证：设，令,即为集合的下确界，显然.由下确界的定义，必存在单调下降的，使得.又由10的连续性，首先对，有，即为的周期，下证，即。假如，则，对，存在正整数和，使，，因而，所以故，这与是非常值函数矛盾，所以，故，即是周期连续函数最小正周期.例8、设在内每一点的左右极限都存在，且，都有，证明在上连续.证明：任取，则对有，令，，而，所以，即（1）类似地，令令，得，即（2）另一方面在中，

4、令，且令，得，而因此，即而由（1）和（2）可知，所以，即在连续，由的任意性知，在上连续.二、函数的连续性及其性质例1设是上的非负连续函数，且。求证：对任意的实数10，必存在，使得，且解：构造辅助函数，显然在上连续，且，因此，再由连续函数的零点定理得，存在，使得.例2设是上的连续函数，存在，且的最小值，求证：至少在两个点处取到的最小值。分析：若能证明存在，使得，则有.为证成立，就要利用介值定理，寻找，使同时寻找，使.解：(i)由，则必存在，满足，于是有，由的连续介值定理，存在，使得，从而(ii)由,必存在，满足，于是有，由的连续函数的介值定理得，存在，使得，从而

5、，因而在处取到了的最小值。例3设是上的连续函数，且有唯一的取到最大值的点(最大值点)，又设,使得，求证:.证：采用反证法。假设不存在，因为有界，所以必存在两个子列，有，且，则，，再由f的连续性知，,，此即10都是的最大值点，与题设条件矛盾。因此极限存在，再由等式得到。例4设是上单调上升的连续函数，且对，任取，由递推公式产生序列，求证极限存在，且其极限值满足方程。证：首先证明递推数列单调。(1)若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调升;(2)若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调降;又由题设条件知有界，因此单调有界，故存在，不妨设其极限为，再利用f的连续性，

6、则。例5设对于任意，函数f(x)满足，(称之为lipschitz条件)，证明存在唯一的，使。证：构造递推数列，。(1)首先证明满足lipschitz条件的递推数列是有界变差数列。(2)再由柯西收敛准则证明有界变差数列是收敛的。令，显然是单调增的且有上界M，所以存在当对任意自然数p有10由柯西收敛准则得收敛。(3)由f(x)的连续性可证的存在不动点。不妨设..例6证明：对每个正整数n，方程在上有且只有一根，并求。解：记，当n=1时，显然的根,对任意的正整数n>1，，由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使，即在中至少有一根，又因为所以在上严格增加，故它在上只能有

7、一个根。又因为，由函数的单调性得数列是单调下降，注意到，所以存在。不妨设其极限为A，由两边求极限得，解得.例7.设函数在区间上连续可导，，且，证明：存在，使得.证明：不妨设，若，则取，显然成立.若，再设，10则有即,又因为在区间上连续，因而也在上连续，由连续函数的介值定理，存在，使得.本题去掉导函数的连续性结论也成立。例8.设函数在上连续，如果存在数列，使得，求证：存在，使得。证：由连续函数的最值性知，存在，使得因为，在上式中，令，得，由连续函数的介值性知，存在，使得。另证：利用抽子列的方法证明。例10、设函数在上可导，证明：（1）若，则至少存在一点，使得；（

8、2）若，则是区间上的单调函数。证明：（