第二讲 函数的连续性 中值定理 积分

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1、第二讲函数的连续性中值定理积分一．连续性定理：设在上Riemann可积，则，使在处连续。证明：作分划。因在上Riemann可积，取，存在，使（其中，以下类似定义。）所以，因此至少有三个，使。取使。作区间，则在上Riemann可积。取，存在，使于是，因此至少有三个，使。取使。如此继续可以得到一个闭区间套使得（1）；（2）在上的上下确界满足5。由闭区间套定理知。下证在处连续。事实上，有。而由上述构造过程知，有，此时故在处连续。例1．若可积，则在连续点处恒等于0。证明：必要性：若在连续，但，则有，于是，矛盾。充分性：

2、（取连续点）。例2．求连续函数，使得且。（答案：。）例3．问取什么值时函数（1）处处连续；（2）处处可导；（3）导函数连续？（答案：（1）；（2）；（3）。）例4．设在上有定义，在处可导，且5满足（1）；（2），则。分析：+，其中。二．中值定理例1．设在上可导，且。证明：对任意正数，必存在内的两个不同的数与，使。（浙江2003年赛题）证明：设0<<1，令C0=，则0

3、值定理存在，有。于是。命题得证。三．积分例1．已知在[0，1]上连续，。求证：[0，1]使得。5证明：假设命题不成立，即有，由已知易得。（1）当时，与在[0，1]上连续，矛盾。（2）当不恒等于4时，即有这样的点使，那么=，矛盾。所以命题成立，即[0，1]使得。例2．求满足下列性质的曲线C：设为曲线上任一点，则由曲线所围成区域的面积A与曲线和C所围成区域的面积B相等。（浙江2003年赛题）例3．证明：。（浙江2002年赛题）分析：令。例4．证明：。（浙江2002年赛题）分析：令，再利用积分第二中值定理。例5．。（

4、浙江2003年赛题）分析：令。例6．计算5分析：令。补充的例题见《数学分析中的典型问题与方法》一书。课外练习题：1．设连续，且当时，，求。（浙江2002年赛题）2．求积分。（浙江2002年赛题）3．设在上连续，且，，……，，，证明：存在，使。4．设函数在上连续，在内可微，且，证明存在，使得：.5．已知当时，有，，，证明：。6．设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为.⑴证明：存在唯一的,使得.⑵取何值时两部分面积之和取最小值？7．计算8．设，其中为连续函数，求，并讨论的

5、连续性。5