2018复习：与圆有关的计算与证明

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1、2017中考复习：与圆有关的计算与证明33．从⊙O外一点A引⊙O的切线AB,切点为B,连接AO并延长交⊙O于点C,点D.连接BC.(1)如图1，若∠A=26°，求∠C的度数；(2)如图2，若AE平分∠BAC,交BC于点E.求∠AEB的度数.【答案】（1）∠C=32°；（2）45°.【解析】试题分析：连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠C+∠CAE=∠FBA+∠BAF，即∠BEF=∠BFE,再利用直径所对的圆周角是直角即可求解.试题解析

2、：（1）如图：连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=26°，∴∠AOB=90°-26°=64°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠ACB，∴∠ACB=32°．（2）如图，连接BD交AE于点F.∵AB是⊙O的切线，∴∠C=∠DBA．又∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠BAE，∴∠C+∠CAE=∠ABD+∠BAE，∴∠AEB=∠BFE．∵CD是⊙O直径，∴∠CBD=90°．∴∠AEB=45°．34．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DC

3、E．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切（2）【解析】试题分析：（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即(-r)2=r2+3，从而易得r的值；试题解析：（1）直线CE与⊙O相切理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB

4、=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AEO+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．（2）∵tan∠ACB=，BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；在Rt△CDE中，CE=，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即(-r)2=r2+3解得：r=35．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC

5、是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC=8，tan∠DAC=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：(1)、连接OD，根据切线的性质以及∠C的度数得出OD∥AC，从而的得出∠CAD=∠ADO，然后根据OA=OD得出∠OAD=∠ADO，从而说明角平分线；(2)、首先根据韦达定理求出AD的长度，连接DE，根据题意得出△ACD和△ADE相似，从而得出AE的长度，然后得出圆的半径.试题解析：（1）连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC∴∠ODB=90°又∵∠C=90°∴AC

6、∥OD∴∠CAD=∠ADO又∵OA=OD∴∠OAD=∠ADO∴∠CAD=∠OAD∴AD平分∠BAC（2）在Rt△ACD中AD=连接DE，∵AE为⊙O的直径∴∠ADE=90°∴∠ADE=∠C∵∠CAD=∠OAD∴△ACD∽△ADE∴，即∴AE=∴⊙O的半径是36．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C.若CE=2，求图中阴影部分的周长．【答案】【解析】试题分析：连接OD、OE、AD，可得△ABC是等边三角形，由此可求出圆的半径长，再利用勾股定理得出BE的长，以及可求出BD和的长即可.试题解析:∵AB是⊙O的直径，点D、E是半圆

7、的三等分点，∴BE⊥AC，。∴∠A=600，∠ABC=600，∴⊿ABC是等边三角形……4分∴AB=BC=AC=2CE=4，圆的半径为2，在Rt⊿ABE中BE=连接ＡＤ易知ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝连接OE、OD易知∠DOE=600，∴的长=∴图中阴影部分的周长=37．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，点F为OE的延长线上一点且OC2=OD·OF.（1）求证：CF为⊙O的切线.（2）已知DE=2，.①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值【答案】（1）证明见解析（2）①5②【解析】试题分析：（1）连接OC，利用同圆的半径相等和直径所对的圆周角

8、为直角，得∠OCF=90