2010自主招生数学

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1、数学科考试卷（满分50分）本试卷共4题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本题满分10分）已知关于的方程为，其中为常数。（1）当时求这个方程的解；（5分）（2）为何值时方程无解？（5分）62．（本题满分10分）如图1，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（5分）（2）若，，求的长．（5分）63．（本题满分15分）如图2所示，已知两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒个长度单位的速度向原点运动．动直线从轴开始以每秒个长度单位的速度向上平行移动（即轴

2、），并且分别与轴、线段交于、点．连结，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．（1）问为何值时，梯形的面积最大，最大面积是多少？（5分）（2）当梯形的面积等于三角形的面积时．求线段的长；（5分）（3）设的值分别取时，所对应的三角形分别为和。试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断。（5分）64．（本题满分15分）已知抛物线与轴相交于点，，且是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．（1）求的值；（4分）（2）分别求出直线和的解析式；（4分）（3）如图3，若动直线与线段分别相交于两点，则在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在

3、，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（7分）6数学科考试卷答案及评分标准1．（1）当时，方程为，得或经检验，是增根，所以方程的解为（5分）（没检验扣1分）（2）化为，得，当，方程无解，此时。（5分）2．（1）因为，所以。连结，则，因为，所以，所以，即，所以是⊙O的切线。（5分）（2）在Rt△OEC中，设⊙O半径为，则，得，因为Rt△ADC∽Rt△OEC，可得，，所以。（5分）3．（1）设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，则y＝(28–3t+28–t)t＝－2t2+28t＝－2(t–7)2+98.所以，当t＝7时，梯形OPF

4、E的面积最大，最大面积为98.（5分）（2）当S梯形OPFE＝S△APF时，－2t2+28t＝，解得t1＝8,t2＝0（舍去）.当t＝8（秒）时，FP＝8.（5分）（3）由＝＝，且∠OAB＝∠OAB，证得△AF1P1∽△AF2P2.（5分）4．（1）（4分）（2）AC：BC：（4分）（3）存在，（1分）6①∠P＝90°，（2分）；②∠D＝90°，（2分）；③∠E＝90°，（2分）6