2010河海大学自主招生数学试题详解

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1、2010河海大学自主招生数学试题（浙江省绍兴县鲁迅中学施建昌312000）2．★★★（二次函数）设函数方程的两根和且，，又若，试比较与的大小分析：这是一个以二次函数为载体比较两数大小的问题，破解的关键是要通过构造二次函数，通过二次函数的根式表示，提取公因式结合放缩法判断两数的大小．解析：令，则，因此因为，则因此点评：此类问题的破解要注意三个方面，一是二次函数的表达式有三种（标准式、根式、顶点式），二是构造法的运用，三是比较大小一般用作差法．4．★★（函数数列，构造等差数列求通项和前项和）已知是定义在R上的不恒为的

2、函数有对于任意，有，（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列的前项和分析：这是一个考查函数数列交汇的试题，首先要根据函数的特值法求特殊函数值，然后结合函数的性质判断奇偶性；而（3）问的数列前项和的求解则要根据数列性质构造等差数列求通项，求出通项后前项和问题便可迎刃而解．解析：（1）对于时有；当时有；（2）令令时有，因此函数为奇函数；（3）令，则，因此数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则，因，则，因此点评：这类函数数列综合问题是命题的一个热点问题，既需要理解和掌握函数的有关性质，也需要

3、掌握数列通项和前项求解的一般方法；函数求值和奇偶性的判断一般可采用特殊值判断和检验法；而数列通项及前项求解则可采用构造法或公式法进行．14．★（数列问题，分离参数求范围）已知函数，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．分析：这是一个以函数为载体，考查不等式数列恒成立的问题，破解的思路是先根据函数求数列的前项和，再结合不等式分离参数求参数的范围．解析：对于，则，累差迭加得，因此，对于在上单调递减，因此，因此实数的取值范围．点评：数更不等式问题是一直是考查的热点和重点，其考查的结合点一般是通过研究数列的性质，结合不等式

4、求参数的范围，而参数范围的求解一般是分离参数并结合函数性质（如单调性等）求解．