第一讲a 行列式的基本内容和行列式的几种形式

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1、第一讲行列式一、内容提要（一）n阶行列式的定义（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即；2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即，则7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的

2、余子式，记为（2）代数余子式的定义的代数余子式的记为2．n阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式（2）按列展开公式（四）范德蒙行列式（注意其转置行列式）（五）分块行列式若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）三、典型例题行列式的计算1.数字型行列式的计算例1计算行列式解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2…bn，且符号为从而。例2计算下列行列式（1）解（1）：（2）例3计算下列n阶行列式解说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：例4计算n阶行列式解：例5计算行列式。解：例6设行列式求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第

3、四行各元素余子式之和的值为行列式的值因为将D1接第四行展开得所以计算从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？例7计算n阶行列式解：将行列式按第一列展开得说明：请注意这种形式的行列式！2.含参数行列式的计算例8计算行列式。解：例9计算三阶行列式。解：3．抽象行列式的计算例10设A,B均为n阶方阵，解