初中数学竞赛专题培训(10)：三角形的全等及其应用[1]

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1、鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训　　第十讲三角形的全等及其应用学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理：　　(1)边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．　　(2)角边角公理有两角

2、和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．　　推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)．　　(3)边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．　　关于直角三角形有：　　(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)．　　利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质．　　借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关

3、于直线平行与垂直问题．　　例1如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．　　分析用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．　　证由已知，∠1=∠2，　　∠ABC=∠DCB，而　　∠EBC=∠ABC-∠1，　　∠ECB=∠DCB-∠2，　　所以∠EBC=∠ECB．在　　△ABC及△BCD中，　　∠ABC=∠BCD，　　∠EB

4、C=∠ECB，BC=BC，　　所以△ABC≌△DCB(ASA)，　　所以AB=CD．　　说明线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等．　　例2如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．　　分析从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一

5、．　　证过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中，∠BGD=∠EGF(对顶角)，①　　∠B=∠F(两直线平行内错角相等)．②　　又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以BD=EF．③　　由①，②，③△GBD≌△GEF(AAS)，　　所以GD=GE．学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资

6、料初中数学竞赛专题培训讲练　　说明适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法：　　(1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．　　(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．　　　做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．　　例3如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP

7、=2PQ．　　分析首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一个外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．　　证在△ABE与△CAD中，　　∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，　　所以△ABE≌△CAD(SAS)，　　所以∠ABE=∠CAD．　　由于∠BPQ是△ABP的外角，所以　　∠BPQ

8、=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．　　在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的一半)．　　说明发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE