初中数学竞赛专题培训[1]

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1、数学思维的教育第一讲：因式分解(一)1第二讲：因式分解(二)4第三讲实数的若干性质和应用7第四讲分式的化简与求值10第五讲恒等式的证明13第六讲代数式的求值16第七讲根式及其运算19第八讲非负数23第九讲一元二次方程27第十讲三角形的全等及其应用31第十一讲勾股定理与应用35第十二讲平行四边形38第十三讲梯形41第十四讲中位线及其应用45第十五讲相似三角形(一)47第十六讲相似三角形(二)50第十七讲*集合与简易逻辑54第十八讲归纳与发现59第十九讲特殊化与一般化63第二十讲类比与联想67第二十一讲分类与讨论70第二十二讲面积问题与面积

2、方法74第二十三讲几何不等式77第二十四讲*整数的整除性81第二十五讲*同余式84第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题87第二十七讲列方程解应用问题中的量91第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题95第二十九讲生活中的数学(三)——镜子中的世界98第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问99第一讲：因式分解(一)1数学思维的教育　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养

3、学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的

4、公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式

5、的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．　　(2)原

6、式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2　　　　　=(a-b+c)2．　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)　　　　=(a-b+c)25数学思维的教育　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)　　　　　=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

7、　　　　　=(a2-b2)(a5+b5)　　　　　=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　　　　=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．　　分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c

8、3-3abc　　　　　=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-b