初中数学竞赛专题培训(15)相似三角线(1)

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1、鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训　第十五讲相似三角形(一)学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等

2、的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．　　关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．　　例1如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．　　分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．　　解在△A

3、BC中，因为EF∥AB，所以　　同样，在△DBC中有　　①＋②得　　设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得　　　　　说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题　　请同学自己证明．　　例2如图2-65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．　　分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．　　解过O

4、作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以　　在△FOG中，由于GO∥EB，所以　　　　例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分　　　分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专

5、题培训讲练　　证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°．　　又∠BAD=∠EDA=60°，　　所以△ADE是正三角形，所以　　EA=ED=AD．①　　由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以　　　　由①，②得　　从而　　例4如图2-67所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：　　　分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．　　证延长CB与E

6、G，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以　　　　　在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，　　所以△OED≌△OBH(AAS)．　　从而DE=BH=AI，　　　　例5(梅内劳斯定理)一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求　　　分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．　　证过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知　　　　　说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将

7、求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　例6如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．　　分析由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，

8、首先得到一个一般关系：