随机过程与衍生品定价基础

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1、随机过程与衍生品定价基础随机漫步与有效市场假说股价遵循随机漫步（RandomWalk）假设：任何可用于预测股票价格的信息必然已经在股价中被反映了即：股价的变动是随机的，且不可预测股价的随机漫步行为归因于（随机且不可预测的）新信息被即时反映到股价中，因此，即刻的股价已经反映了即刻所知的所有信息，这就是有效市场假说（EfficientMarketHypothesis）有效市场假说的形式弱有效市场：股价已经反映了全部能从市场交易数据中得到的信息，因此对价格趋势的分析（技术分析）是无效的半强有效市场：与公司前景有关的所有公开信息已经在股价中得出了反映

2、，因此基本面分析是无效的强有效市场：股价反映了全部与公司有关的信息，包括未公开的内幕信息。股价随机漫步的经济意义金融资产价格在下一个时间段内的变动独立于上一个时间段内的变动（iid假设）资产价格的运动过程包含两部分，即漂移率μ（Driftrate）和方差率σ2（Variancerate）资产价格从初始点，经过离散时间段t之后，预期波动（不考虑漂移律）的大小为资产收益率是服从均值等于μ，波动率（标准差）等于σ的正态分布传统理论中有效市场假设的数学意义数学意义：股价（收益）的未来预期与其历史路径无关（时间序列无自相关），即股价服从马尔科夫过程定义

3、：马尔科夫过程（MarkovProcess)是这样的一种随机过程，随机变量Wt（t>=0）的变化只与其现值以及对未来的预期有关，而与Wt的历史路径无关。维纳过程（WienerProcess)标准维纳过程Zt（t>=0）是一种特殊的马尔可夫过程，它符合1、对于每一个微小时间段Δt内的增量Δz，有ε服从标准正态分布2、在任意两个时间段Δt1，Δt2内的增量Δz1，Δz2独立维纳过程常用于描述物理学上的布朗运动（BrownianMotion)维纳过程的数学特征对于维纳过程的增量Δz，显然有以下性质成立E(Δz)=0标准差方差一般维纳过程

4、（GeneralizedWienerProcess)定义三，我们称随机过程为一般维纳过程，它符合其中，a，b为常量，它们分别表示一般维纳过程的漂移系数和波动率（标准差）。一般维纳过程的数学特征对于一般维纳过程的增量Δz，显然有以下性质成立Ito过程由上述内容，我们扩展出Ito过程定义四，Ito过程，符合下式显然，Ito过程是将一般维纳过程的漂移系数a和波动率b扩展为潜在变量x和时间t的函数在许多传统理论中都用Ito过程来描述金融资产价格的动态变化Ito引理若变量x符合Ito过程其中，a(x,t)和b(x,t)分别为x的漂移系数函数和波动率函数

5、则有关于x，t的函数G(x,t)，符合Ito引理上两式中，dz为相同的标准维纳过程则显然，G也符合Ito过程它有漂移系数函数和波动率函数股价（金融原生资产）的行为如前面部分所述，资产价格的运动过程包含两部分，即漂移率μ（Driftrate）和方差率σ2（Variancerate）因此，我们可以将股价的变化（独立增量）写为扩展维纳过程，若股价有常数的期望收益（漂移率）μ，不考虑波动率，则经过时间Δt后，有两边取自然对数即股价（金融原生资产）的行为(con’t)若时间间隔Δt趋近于无穷小即上式表示不考虑波动性的股价变化（独立增量的期望）而考虑波动

6、性，我们假设股价变化服从Ito过程，则有衍生品的定价基础：Black-Scholes-Merton微分方程基本的假设条件（和有效市场假定的部分一致）股价（原生资产）的价格服从前述的Ito过程可以任意卖空无交易成本或税负，证券可以完全地拆分衍生品的生存期内无分红没有无风险套利机会证券交易是连续进行的无风险利率r对于任何期限都是常数衍生品的定价基础：Black-Scholes-Merton微分方程由假设条件，股价的价格变化应服从Ito过程假设变量f代表基于S的一种衍生资产价格，它是S和时间t的函数，由Ito引理，我们有我们可以通过建立一个包含股票

7、和衍生资产的组合，来消除组合的未来波动（维纳过程Δz），这个组合包含：卖空1单位的衍生资产，买入单位的股票衍生品的定价基础：Black-Scholes-Merton微分方程这样，组合的价值为而经过时点段Δt后的组合价值为上述的组合是无风险的，而在无套利假设下，无风险资产的收益必等于无风险利率即代入前式，即衍生品的定价基础：Black-Scholes-Merton微分方程将前式约去Δt后化简，即上式即著名的Black-Scholes-Merton微分方程，通过给出不同衍生资产的边界条件，若存在可得的稳定解析解，即是相应衍生资产的理论价格风险中性

8、定价Black-Scholes-Merton微分方程的一个重要性质：风险中性定价通常情况下（边界条件不给出其它的变量），方程的解是与股价的期望收益μ无关的，而只依赖