2.1 随机过程基础

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1、第二章随机信号的特征及其估计本章主要讨论随机信号的描述、分析和处理方法本章包括：随机过程基础估计的质量评价均值、方差、自相关函数的估计相关函数域功率谱白噪声过程和谐波过程2.1随机过程基础2.1.1随机过程及其特征描述1.随机过程随机过程通常用表示，定义为两个自变量的一个集合函数常将变量略去，记作2.1随机过程基础2.随机过程的n维分布1）.一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。若的一阶偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程

2、一维分布的性质：2）.二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。若对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。对于任意的时刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。为随机过程X(t)的

3、n维概率密度。随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度3.随机过程的数字特征1）.数学期望（均值函数）对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即2）.均方函数3）.方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为D[X(t)]，即4）.自相关函数和协方差函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶

4、联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函数当时，当时，若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。4.互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)

5、和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时，X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。

6、其中，w0为常数，是在区间上均匀分布的随机变量。2.1.2平稳随机过程平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。广义平稳随机过程的性质：严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。2.1.3各态历经性“各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的统计平均值mX：各态历经过

7、程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。稳态通信系统的各态历经性：假设信号和噪声都是各态历经的。一阶原点矩mX=E[X(t)]－是信号的直流分量；一阶原点矩的平方mX2－是信号直流分量的归一化功率；二阶原点矩E[X2(t)]－是信号归一化平均功率；二阶原点矩的平方根{E[X2(t)]}1/2－是信号电流或电压的均方根值（有效值）；二阶中心矩X2－是信号交流分量的归一化平均功率;若mX=mX2=0，则X2=E[X2(t)]；

8、标准偏离X－是信号交流分量的均方根值；若mX=0，则X就是信号的均方根值。2.1.3高斯过程（正态随机过程）定义：一维高斯过程的概率密度：式中，a=E[X(t)]为均值2=E[X(t)-a]2为方差为标准偏差∵高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX(x,t1)与t1无关，即，pX(x,t1)＝pX(x)pX(x)的曲线：若a=0,=1，则称这种分布为