2.1椭圆及其标准方程

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1、§3.1.1椭圆及其标准方程一.图片感知认识椭圆直观感受一.图片感知认识椭圆直观感受一.图片感知认识椭圆直观感受一.图片感知认识椭圆直观感受一.图片感知认识椭圆一.图片感知认识椭圆感受生活中有椭圆，生活中用椭圆。想一想：如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？动手操作：二.实验探究形成概念二.实验探究形成概念数学实验：F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。椭圆的定义如果设轨迹上任一

2、点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={MMF1+MF2=2a（2a>2c）}．二.实验探究形成概念（1）平面曲线（2）到两定点F1，F2的距离和等于定长（3）定长﹥F1F2反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。二.实验探究形成概念探究结论：一定要准确把握奥！三.类比探究得出方程设点建系列式化简证明三.类比

3、探究得出方程想一想：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”OxyMF1F2解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2三.类比探究得出方程对于含有两个根式的方程，可以采用移项两边平方或者分子有理化进行化简。则方程可化为观

4、察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？即a2-c2有什么几何意义？（）三.类比探究得出方程它表示：①椭圆的焦点在x轴②焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0）③c2=a2-b2椭圆的标准方程:F1F2Moxy思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢三.类比探究得出方程椭圆的标准方程它表示:①椭圆的焦点在y轴②焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）③c2=a2-b2xMF1F2yO三.类比探究得出方程直线的截距式总体印象:对称，简洁‘像’三.类比探究得出方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到

5、两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO标准方程的再认识：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？四.夯实基础灵活运用则a＝，b＝，c=。534四.夯实基础灵活运用口答：变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？（

6、1）、已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：变式演练加深理解例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程（2）、两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为(法一)xyF1F2P(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆

7、的标准方程为求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量）例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)所求椭圆的标准方程为（２）所求椭圆的标准方程是.求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.例3已知椭圆经

8、过两点,求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程则有，解得所以，所求椭圆的标准方程为练习.方程表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.变式：（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围.（2）方程表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆，求k的值.k>0且k≠5/4k>5/4k＝1/4定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可