弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形

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1、四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。求证：PA=PC。

2、·OABC例3．如图所示，在中，∠A=，⊙O截的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE．O·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．求证：是等边三角形．·OADEBC综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、相等的弧所对的圆心角相等C、相等的弦所对的弦心距相等D、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O中，AB的度数是，∠OBC=，那么∠OAC等于（）·O图ABCA、B、C、D、3．P为⊙O内一点，已知

3、OP=1cm，⊙O的半径r=2cm，则过P点弦中，最短的弦长为（）A、1cmB、cmC、cmD、4cm4．在⊙O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为，若⊙O的半径为6，则AB、CD两弦相距（）A、3B、6C、D、5.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明△ODE的形状；（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。6如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）

4、求证：△BEF是等边三角形；·AOBEDCGF（2）BA=4，CG=2，求BF的长.7已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。【作业】日期姓名完成时间成绩1.如图1，内接于⊙，则⊙的半径为（）.A．B．4C．D．52.如图2，在⊙中，点C是AB的中点，，则等于（）.A．B．C．D．如图1如图23.如图3，A、B、C、D是⊙上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，，=度.4.如图4，已知AB是⊙的直径，C、D是⊙上的两点，，则的度数是.如图3如图4如图55.如图5，AB是半圆的直径，E是BC的中

5、点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为cm.6．如图所示，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证:EC=2EAABODEC五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1（1）已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数．·ABCDO（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．例2

6、四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且AP∥BD．求证：·ADCBOP例3如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点．求证：DB+DC=DA．A·BCDO例4AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF，求证：·ABCDEO例5如图所示，在中，AB=AC，过A点的直线与的外接圆交于E，与BC的延长线交于D．求证：【考点速练】1．圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为．·ABCEDO3．如右图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥

7、CD于E，若∠ABC=，则∠DAE=．4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4，则∠A=，∠B=．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，∠EAD=，则∠BDC=．7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大，则∠A=。∠D=．8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）A、B、C、D、9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（）A、1对B、