11.5《简单几何体的面积和体积》

《11.5《简单几何体的面积和体积》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五节简单几何体的面积和体积A组1．(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的表面积为________．解析：设外接球半径为r，则(2r)2＝12＋()2＋22＝8，故r2＝2.∴S球＝4πr2＝8π.答案：8π2．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V＝S·h＝πR2·h＝π×22×2＝.答案：3．(2010年南京调研)如图，在正三

2、棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则由BC12＝BC2＋CC12，BC12＝DC12＋DB2，即得(a2＋b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6，∴a2＝8，∴V＝×8×4＝8.答案：84．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线A

3、C上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×()3＝.答案：5．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．解析：如右图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，则OO′⊥面ABC.在Rt△ACD中，cosA＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝2R，R＝，即O′C＝.在Rt△OCO′中，由题意得r2－r2＝，得r＝.球的表面积S＝4πr2＝4π×＝54π.答案：　54π6．在长方体A

4、BCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．解：(1)证明：法一：如图，连结D1C，∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1∥BC且A1D1＝BC.∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C.∵A1B⊄平面CDD1C1，D1C⊂平面CDD1C1，∴A1B∥平面CDD1C1.法二

5、：∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴平面A1AB∥平面CDD1C1.∵A1B⊂平面A1AB，A1B⊄平面CDD1C1.∴A1B∥平面CDD1C1.(2)设A1A＝h，∵几何体ABCD－A1C1D1的体积为，∴VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝，即SABCD×h－×S△A1B1C1×h＝，即2×2×h－××2×2×h＝，解得h＝4.∴A1A的长为4.(3)如图，连结D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD.∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面

6、A1AB.∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B.∴OA1＝D1B.同理OD＝OC1＝D1B.∴OA1＝OD＝OC1＝OB.∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O.∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24.∴S球＝4π×(OD1)2＝4π×()2＝π×D1B2＝24π.故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π.B组1．(2008年高考湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球

7、的半径R＝，故球的体积V＝πR3＝π.答案：2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为________．解析：AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，∴AB＝，AC＝1，AD＝.∴V＝··1··＝.答案：3．(2010年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．解析：由πR3＝，得R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2.∴a＝4.∴V＝(4

8、)2·4＝48.答案：484．(2009年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．解析：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1＝×1×＝，故八面体体积V＝2V1＝.答案：5．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到