2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线

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1、第5节直线与圆锥曲线题型124直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013重庆理21）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，.（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.若，求圆的标准方程.2．(2013湖南理21）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点，相交于点.以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在的直线记为.（1）若，证明；；（2）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程.3.（2013江西理20）如图，椭圆经过

2、点，离心率，直线的方程为．(1)求椭圆的方程；(2)是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．4.（2014辽宁理10）已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（）.A．B．C．D．5.（2014福建理19）（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为，.（1）求双曲线的离心率；（2）如图所示，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公

3、共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.6.（2014天津理18）（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.7.（2014湖北理21）（满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.8.（2015北京理19）已知椭圆的离心率为，

4、点和点都在椭圆上，直线交轴于点.（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表）；（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.8.解析（1）因为，所以，又点在椭圆：上，则，，因此椭圆的方程为，直线的方程：，令，可得，所以点的坐标是.（2）点与关于轴对称，所以，直线的方程：，令，所以可得，则，因为，所以，所以，即，因为，又点在椭圆上，所以，即，所以，得.9.（2015福建理18）已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位

5、置关系，并说明理由．9.分析本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解析解法一：（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为．（2）设点，，的中点为．由，得，所以，，从而，所以，，故，所以．故点在以为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点，，则，．由，得，所以，，从而，所以．又，不共线，所以为锐角．故点在以为直径的圆外．10.（2015全国I理20）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点.（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存

6、在点，使得当变动时，总有？说明理由.10.解析（1）由题意知，时，联立，解得，．又，在点处，切线方程为，即，在点处，，切线方程为，即．故所求切线方程为和．（2）存在符合题意的点，证明如下：设点为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．联立方程，得，故，，从而．当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意．11.（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.1

7、1．分析(1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围.解析(1)由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一像限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为.(3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立

8、，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.①当时，有，因此，于是，得；②当时，有，因此，于是，得综上所述，直线的斜率的取值范围是.12.（2016