2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第10章 第5节 直线与圆锥曲线

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1、第十章圆锥曲线第五节直线与圆锥曲线题型126直线与圆锥曲线的位置关系2013年1.(2013天津文18）设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(1)求椭圆的方程；(2)设，分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．2.（2013山东文22）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2），为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆于点，设，求实数的值．3.(2013安徽文21）已知椭圆的焦

2、距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.2014年1.（2014湖北文8）设是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为（）.A．B．C．D．2.（2014大纲文22）已知抛物线C：的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，

3、N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.2015年1.（2015安徽文20）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.（1）求的离心率；（2）设点的坐标为，为线段的中点，求证：.1.分析（1）由且，，可得.又因为的斜率为，所以，根据椭圆的性质，即可求出离心率；（2）由题意可知点的坐标为，所以，，推出，即可证明结果.解析（1）由，且，，可得.又因为的斜率为，所以，则，即，亦即，得.（2）由题意可知点的坐标为，所以，，所以，所以.2.(2015北京文20)已知椭

4、圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的离心率；（2）若垂直于轴，求直线的斜率；（3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.2.解析（1）椭圆即，离心率.（2）若垂直于轴，则所在的直线方程为，不妨设，.又，，直线所在的方程为：，联立直线与直线的方程，得，，故直线的斜率是1.（3）由（2）知，当垂直于轴时，直线的斜率为1，且，得，故直线与直线平行.若直线不垂直于轴时，直线与直线也保持平行的位置关系.下面来进行验证，即验证.设，，，直线的方程为，令，得，，要证明，只需证明，即，联立

5、直线与椭圆方程，消建立关于的一元二次方程得，.将式整理得将，代入上式的左边得：右边.因此，直线的斜率为1，说明直线与直线的位置关系是平行.3.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线（其中）的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．3.解析（1）由题意得，故，即，从而，，，故椭圆的标准方程为．（2）解法一（正设斜率）：若的斜率不存在时，则方程为，此时，易知此时，不满足题意；当的斜率为0时，此时亦不满足

6、题意；因此斜率存在且不为0，不妨设斜率为，则方程，不妨设，，联立直线与椭圆，即，因为点在椭圆内，故恒成立，所以，故，又，，故，因为，故，即，即，整理得，即，即，解得，从而直线方程为或．解法二（反设）：由题意，直线的斜率必不为0，故设直线方程为，不妨设，，与椭圆联立，整理得，因为点在椭圆内，故恒成立，故，因此，则点的纵坐标为，于是点的横坐标为，又，故，所以，因为可得，化简得，即，化简得，计算得，从而直线方程为或.2016年1.（2016浙江文19）如图所示，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于.（1）求的值

7、；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点.求的横坐标的取值范围.1.解析（1）因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.（2）由（1）知抛物线的方程为，，可设，，.由题知不垂直于轴，可设直线，，由消去得，故，所以.又直线的斜率为，故直线的斜率为，从而直线，直线，所以.设，由，，三点共线得：，整理得，(，)，此函数为偶函数，且和上单调递减，分析知或.所以点的横坐标的取值范围是.2.（2016全国乙文20）在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于

8、点的对称点为，联结并延长交于点.（1）求；（2）除以外，直线与是否有其他公共点？请说明理由.2.解析（1）如图所示，由题意不妨设，可知点的坐标分别为，，，从而可得直线的方程为，联立方程，解得，.即点的坐标为，从而由三角形相似可知.（2）由于，，可得直线的方程为，整理得，联立方程，整理得，则，从而可知和只有一个公共点.2017年1.（2017全国1文20）设，为曲线上两点，