2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章 立体几何-1 空间几何体及其表面积和体积

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1、第八章立体几何第1节空间几何体及其表面积和体积1.（2014陕西理14）观察分析下表中的数据：多面体面数()顶点数()棱数()三棱锥五棱锥立方体猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.1.解析观察表中数据，并计算分别为，，，又其对应分别为，，，容易观察并猜想.题型85空间几何体的表面积与体积1．（2013湖北理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有：（）.A．B．C．D．2.(2013重庆理5）某几何体的三视图

2、如图所示，则该几何体的体积为（）.A.B.C.D.3.（2013江苏8）如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则.4．（2013广东理5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）.A．B．C．D．5.（2014山东理13）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则.5.解析如图，设，，到平面的距离为，到平面的距离为，则，，，，所以.评注本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面

3、积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.6.（2014福建理13）要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米元，则该容器的最低总造价是.（单位：元）6.解析设底面的边长分别为，，总造价为元，则.（当且仅当时取等号）故该容器的最低总造价是元.7.（2014新课标2理18）（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设二面角为，，，求三棱锥的体积.8.（2016上海理19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为

4、，长为，其中与在平面的同侧．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．8.解析（1）连结，则，所以为正三角形，故，所以．（2）设点在下底面圆周的射影为，连结，则，所以为直线与所成角（或补角），，连结，，，所以，故，因此为正三角形，所以，故，所以，故直线与所成角大小为．9.（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．（1）若，，则仓库的容积是多少；（2）正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？9.解析（1

5、），则，，，故仓库的容积为．（2）设(m)，仓库的容积为，则(m)，(m)，(m)，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，取到最大值，即(m)时，仓库的容积最大．10.（2016浙江理14）如图所示，在中，，若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是.10.解析在中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.过点作直线的垂线，垂足为.设，则，即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积，当时等号成立，所以我们取.设，因为，所以

6、.则.当时，有故.此时，.因为所以函数在上单调递减，故.当时，有，故.此时，.由上述可知，函数在单调递减，故.综上所述，四面体的体积的最大值为.11.（2017江苏6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是．OO1O211.解析设球的半径为，由题意，，所以．故填．12．（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为.12.解析设正方体的边长为，则.外接球直径为正方体的体对角线，所以，.13.（2017全国1卷理科16）如图所

7、示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_______.13.解析由题意，联结，交于点，如图所示，则，，即的长度与的长度成正比.设，则，，三棱锥的高，，则.令，，，令，即，，当，得，所以在上单调递增，在上单调递减.故，则，所以体积的最大值为.题型86旋转体的表面积、体积及球面距离1.（2013浙江理12）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何

8、体的体积等于________.2.（2013辽宁理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.3.（2013辽宁理10）已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（）.A.B.C.D