直线与方程知识点加例题

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1、直线与方程(一)倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.如果知道直线上两点，则有斜率公式.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，

2、斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.例1经过，两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．例2若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．(二)两条直线平行与垂直的判定1.对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有：（1）Û；（2）Û.2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….例3已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．例4直线过点且与直线垂直，则的方程是（）A．B．C．D．（三

3、）直线的点斜式方程1.点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2.斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.4.注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.例5．过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（）.A.B.C.D.例6．倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是.（四）直线的两点式方程1.两点式：直线经过两点，其方程为，2.截距式：直线在x、y轴上

4、的截距分别为a、b，其方程为.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4.线段中点坐标公式.例7．（04年全国卷Ⅱ.文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.A．B．C．D．例8．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.五直线的一般式方程1.一般式（generalform）：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.过点的直线可写为.经过点，且平行于直线

5、l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3.已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）；（2）；（3）与重合；（4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.例9．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.例10．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且.求证.六两条直线的交点坐标1.一般地，将两条直线的方程联立

6、，得到二元一次方程组.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.例11．直线：2＋3＝12与：－2＝４的交点坐标为.例12．（07年上海卷.理2）若直线与直线平行，则．七两点间的距离1.平面内两点，，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2.坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示

7、有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例13．已知点，判断的类型．例14．已知，点为直线上的动点．求的最小值，及取最小值时点的坐标．八点到直线的距离及两平行线距离1.点到直线的距离公式为.2.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即.这时点到直线的距离为例15已知点，求△的面积．例16已知直线经过直线与的交点．若点到的距离为3，求的方程．