直线与方程(经典例题).docx

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1、直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0,90在。时，k0；当y290,180y1时，k0；当90时，k不存②过两点的直线的斜率公式：kx2x1(x1x2)注意下面四点：(1

2、)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y

3、轴上的截距为b③两点式：yy1xx1（xx,yy）直线两点x,y，x,yy2y1x2x112121122④截矩式：xy1ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）注意：○1各式的适用围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的

4、常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；（ⅱ）过两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数），其中直线l2不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（5）两条

5、直线的交点l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交点坐标即方程组A1xA2xB1yC1B2yC20的一组解。0方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合（6）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（Bx2,y2）是平面直角坐标系中的两个点，则

6、AB

7、(xx)2(yy)22121（7）点到直线距离公式：一点P（8）两平行直线距离公式x0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0CA2B2在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题

8、例1.已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。设直线的截距式方程为：xy1解：ab541则有ab1ab52a5，b2或a5，b42直线方程为8x5y200或2x5y100例2已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值围．（2）求直线l的倾斜角的取值围．分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有kkP

9、B；当l的倾斜角大于90°时，则有kkPA．Ay解：如图1，有分析知BkPA4(1)32＝－1，kPB2(1)32＝3．OxP∴（1）k1或k3．3图1（2）arctan34．说明：容易错误地写成－1k3，原因是或误以为正切函数在0,上单调递增．例3若三点A(2,3)，B(3,2)，C(1,m)共线，求m的值．2分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：由A、B、C三点共线，则kABkAC．∴2332m123，解得m21．2说明：由三点共线求其中参数m的方法很多，如两点间

10、的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m的方法最简便．例4.在直线3xy10上求一点P，使点P到两点（1，1），（2，0）的距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解法1：设P（x，y），则有