分数阶nambu系统动力学基本理论的研究

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1、密级★保密期限：（涉密论文须标注）ZSTUZhejiangSci-TechUniversity硕士学位论文Master’sThesis中文论文题目:分数阶Nambu系统动力学基本理论的研究英文论文题目：BasictheoriesfordynamicsoffractionalNambusystems学科专业：应用数学作者姓名：许艳丽指导教师：罗绍凯教授完成日期：2015年3月万方数据万方数据万方数据摘要分数阶微积分的研究已经有三百多年的历史，由于缺少实际应用背景，分数阶微积分一直没有受到重视．20世纪70年代末，美

2、国耶鲁大学教授Mandelbort发现自然界中存在大量分数维的事实，分数阶动力学的研究迅速成为热点，在理论与应用上取得了很大的发展．Nambu系统比广义Hamilton系统更为一般，是一类具有科学与工程背景的基本动力学系统，但是，Nambu系统动力学的研究停留在整数阶层面上，分数阶Nambu系统动力学的理论有待于建立．本论文建立了分数阶Nambu系统动力学的基本理论，研究了分数阶Nambu系统的运动方程、代数结构、Poisson积分、积分不变量的构造方法以及平衡状态流形稳定性理论，并给出分数阶Nambu方法在实际

3、问题中的应用．第一章简要的介绍了分数阶动力学和Nambu系统动力学的研究历史与现状，提出了本论文所要解决的问题．第二章简要的归纳了Riemann–Liouville、Caputo、Riesz–Riemann–Liouville、Riesz–Caputo和Cresson等五种不同分数阶导数的定义及其性质．基于Cresson联合分数阶导数的定义，利用Nambu–Poisson括号，建立了统一的分数阶Nambu系统动力学方程；基于不同的分数阶导数的定义，分别建立了四类分数阶Nambu系统动力学方程．作为分数阶Nambu

4、方法的应用，分别构造了三个新型的分数阶动力学模型．第三章基于Riesz–Riemann–Liouville分数阶导数的定义，分别探究了分数阶Nambu系统与整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、自治的分数阶Birkhoff系统、自治Birkhoff系统、分数阶Hamilton系统、经典Hamilton系统、分数阶Lagrange系统以及Lagrange系统之间的关系，并且分别给出了退化或转化条件．第四章在Riesz–Riemann–Liouville分数阶导数的定义下，研

5、究了分数阶Nambu系统的代数结构和Poisson积分．我们发现，分数阶Nambu系统具有Lie代数结构，证明了分数阶Nambu系统的Poisson积分定理．作为其特殊情况，给出了整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶Hamilton系统与Hamilton系统的Poisson积分定理．列举三个实例说明了分数阶Nambu系统Poisson定理的应用．第五章研究了Riesz–Riemann–Liouville定义下的分数阶Nambu系统的变分方程与积分不变量的构造方法．

6、我们发现，利用分数阶Nambu系统的第一积分与变分方程，可以构造分数阶Nambu系统的积分不变量，给出了积分不变量的存在定理．作为其特殊情况，给出了整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶IHamilton系统和Hamilton系统的变分方程和积分不变量．最后，给出实例说明本章方法的应用．第六章在Riesz–Riemann–Liouville定义下，研究了分数阶Nambu系统的平衡状态流形的稳定性．给出了系统的平衡方程、受扰运动方程和一次近似方程，得到判定系统平衡状态

7、流形稳定性的三个命题．作为其特殊情况，给出了判定整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶Hamilton系统和Hamilton系统的平衡状态流形稳定性的相应推论．列举实例说明了本章方法的应用．第七章归纳总结了本文的主要工作，提出了分数阶Nambu系统动力学进一步研究的一些建议．关键词：分数阶算子，分数阶Nambu系统，代数结构，Poisson积分，积分不变量，稳定性，平衡状态流形AbstractThestudyoffractionaldifferential-inte

8、gralhasdevelopedmorethan300years.However,becauseoflittlepracticalapplication,fractionaldifferential-integralhasnotbeentakenseriously.Intheendofthe1970s,Mandelbrotdiscoveredafactthatalarge